Question

已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5

.(1)确定函数f(x)的解析式（2）判断fx的单调性，并证明（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0

Answer 1

1）因为是奇函数，所以f(-1/2)=-f(1/2)=-2/5
得，f(1/2)=(m/2+n)/(1+（1/2）^2)=2/5
f(-1/2)=(-m/2+n)/(1+（-1/2）^2)=-2/5

得，m=1，n=0，
所以，f(x)=x/(1+x^2)
2）设f(x)上有两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1>x2，在（-1，1）内
所以y1-y2=f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
以为，x1和x2在（-1，1）内，所以，x1x2<1，1-x1x2>0,
且x1>x2，x1-x2>0

所以y1-y2>0，
所以，f(x)在(-1,1)上是增函数
3）因为f(x)在(-1,1)上是单调递增的奇函数，因此，
不等式f（t-1）+f（t）＜0，
等价于|t-1|>|t|且t-1＜0
解得-1<t<1/2

Answer 2

（1）由于f(x)是(-1,1)上的奇函数，所以f(-x)=f(x) ，即有(ax+b)/(1+x^2)=-(-ax+b)/(1+x^2)，因此b=0，
再由f(1/2)=2/5得：(a/2)/(1+(1/2)^2)=2/5，解得：a=1；
函数f(x)的解析式为：f(x)=x/(1+x^2)
（2） 对定义区间内任意-1<a<b<1，
f(xb)-f(a)=b/(1+b^2)-a/(1+a^2)=((b-a)*(1-ab))/(1+a^2)/(1+b^2)；
上式右端分母中两项均大于0，而分子(b-a)>0，1-ab>1-1*1=0，所以　f(x2)-f(x1)>0
f(x)在定义区间是单调增加的奇函数。
（3）题给不等式可表示为：(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)<0；
因式中分母均大于零，可化简为：(t-1)*(1+t^2)+t*(1+(t-1)^2)<0
即：(t-1)^3+t^3<0；
一、当t>0时，由上式得：(t-1)/t<-1，t<1/2，不等式成立的范围是：0<t<1/2；
二、当t<0时，(t-1)/t>-1，即要求t>1/2，不等式不能成立；
因函数f定义在(-1,1)上，故要求-1<t-1<1，-1<t<1，即0<t<1 ；
综合得不等式解为：0<t<1/2