Question

函数f（x）=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数，且f（1/2）=2/5

(1)解析式。
（2）利用定义式证明f（x）在（—1，1）上是增函数。
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0

函数搞得我很晕啊，求过程，谢谢啦、、

Answer 1

函数f（x）=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数
则f(0)=b=0
又知f（1/2）=2/5
即(a/2+b)/(1+1/4)=2/5
2a/(4+1)=2/5
解得a=1
(1) 函数解析式为f(x)=x/(1+x²)
(2) 设有x1<x2<1
则x2-x1>0 x1*x2<1 即1-x1*x2>0
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)=[x2(1+x1²)-x1(1+x1²)]/(1+x1²)(1+x2²)
=[(x2-x1)+x1*x2(x2-x1)]/(1+x1²)(1+x2²)
=(x2-x1)(1-x1*x2)/(1+x1²)(1+x2²)
>0
所以f(x)是增函数
(3) 因f(x)是奇函数
所以f(-t)=-f(t)
于是f(t-1)+f(t)<0
即f(t-1)<-f(t)=f(-t)
已知f(x)为增函数，则
-1<t-1<-t<1
解得0<t<1/2
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

你还是把题目写正确、完整了再发上来吧。 b/1是1分之b还是b分之一？ 还有f（x）是个抛物线函数咋可能会是奇函数？虽然题目目前不知道是啥，我还是提供一个思路吧。（1）求解析式，利用奇函数f（0）=0和f（1/2）=2/5代入函数式列出二元一次方程组求出a、b即可；（2）证明增减性，设-1<X1<X2<1,再把X1、X2代入函数式写出f（X1）-f（X2），化简一下判断f（X1）-f（X2）正负即可，若为正则f（X1）>f（X2），那么f（x）在定义域上为减函数，若为负，即f（X1）<f（X2）,那么f（x）在定义域上为增函数；（3）把9t-1）和t代入解出得解析式，得到f（t-1）+f（t）的函数式直接解不等式即可。

追问

……
首先，没有什么b/1，ax+b是分子，1+x²是分母。
其次，题目说了，定义域在(-1,1)内，所以在定义域内是奇函数很正常。
最后，谢谢。

追答

加个括号就清楚了~以为你手误输错了呢~

Answer 3

函数f（x）=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数
则f(0)=b=0
又知f（1/2）=2/5
即(a/2+b)/(1+1/4)=2/5
2a/(4+1)=2/5
解得a=1
(1) 函数解析式为f(x)=x/(1+x²)
(2) 设有x1<x2<1
则x2-x1>0 x1*x2<1 即1-x1*x2>0
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)=[x2(1+x1²)-x1(1+x1²)]/(1+x1²)(1+x2²)
=[(x2-x1)+x1*x2(x2-x1)]/(1+x1²)(1+x2²)
=(x2-x1)(1-x1*x2)/(1+x1²)(1+x2²)
>0
所以f(x)是增函数
(3) 因f(x)是奇函数
所以f(-t)=-f(t)
于是f(t-1)+f(t)<0
即f(t-1)<-f(t)=f(-t)
已知f(x)为增函数，则
-1<t-1<-t<1
解得0<t<1/2
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 4

解：
(1)
由已知得f(-x)=-f(x)
∴-ax+b/(x^2+1)=-ax-b/(x^2+1)
解得b=-1
则f(x)=ax-1/(x^2+1)
又f(1/2)=2/5
∴2/5=a/2-1/(1+1/4)
解得a=12/5
∴f(x)=12x/5-1/(x^2+1)
(2)
设-1<x1<x2≤0
则f(x2)-f(x1)=12x2/5-1/(x2^2+1)-12x1/5+1/(x1^2+1)
=12(x2-x1)/5+1/(x1^2+1)-1/(x2^2+1)
=12(x2-x1)/5+[(x2+x1)(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x2-x1){12/5+[(x2+x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)]}
显然f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(-1,0]上单调递增
又f(x)是奇函数
∴f(x)在(0,1)上单调递增
综上所述f(x)在(-1,1)上单调递增
(3)
化为f(t-1)<-f(t)
又f(x)是奇函数
∴f(t-1)<f(-t)
由已知得
-1<t-1<1
-1<-t<1
t-1<-t
解得t∈(0,1/2)