Question

函数f(x)=ax+b/1+x*x是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5

(1)确定函数f(x)的解析式
（2）用定义证明f(x)在（-1，1）上是增函数
（3）解不等式：f(t-1)+f(t)<0
麻烦大家帮帮忙，给出详细的解答过程，在这里先谢谢大家了！

Answer 1

解：
(1)
由已知得f(-x)=-f(x)
∴-ax+b/(x^2+1)=-ax-b/(x^2+1)
解得b=-1
则f(x)=ax-1/(x^2+1)
又f(1/2)=2/5
∴2/5=a/2-1/(1+1/4)
解得a=12/5
∴f(x)=12x/5-1/(x^2+1)
(2)
设-1<x1<x2≤0
则f(x2)-f(x1)=12x2/5-1/(x2^2+1)-12x1/5+1/(x1^2+1)
=12(x2-x1)/5+1/(x1^2+1)-1/(x2^2+1)
=12(x2-x1)/5+[(x2+x1)(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x2-x1){12/5+[(x2+x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)]}
显然f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(-1,0]上单调递增
又f(x)是奇函数
∴f(x)在(0,1)上单调递增
综上所述f(x)在(-1,1)上单调递增
(3)
化为f(t-1)<-f(t)
又f(x)是奇函数
∴f(t-1)<f(-t)
由已知得
-1<t-1<1
-1<-t<1
t-1<-t
解得t∈(0,1/2)