Question

函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5.求：(1)确定函数f(x)的解析式；

（2）证明f(x)是增函数（3）解不等式f(t-1)+f(t)<0
写出过程！！

Answer 1

(1)，因为f(x)=(ax+b)/(1+x²)是 奇函数，所以
f(0)=b=0，
又f(1/2)=(a/2+b)/[1+(1/2)²]=(2a+4b)/5=2/5，
由b=0，得： a=1，
所以函数f(x)的解析式： f(x)=x/(1+x²)。
(2)，函数f(x)的定义域为：(-1，1)，
在(-1，1)上，任取x1，x2，-1<x1<x2<1，则：
f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]，
因为-1<x1<x2<1，则：x1-x2<0， 1-x1x2>0，(1+x1²)>0，(1+x2²)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
根据函数单调性的定义，-1<x1<x2<1，f(x1))<f(x2)，
所以函数f(x) 在(-1，1)上是增函数。
(3)，f(t-1)+f(t)<0，
f(t-1)<-f(t)=f(-t)， (f(x)是奇函数)
因为函数f(x) 在(-1，1)上是增函数，所以
t-1<-t ，且 -1<t-1<1， -1<-t<1，
即t<1/2，且 0<t<2 ， -1<t<1，
所以 0<t<1/2。

Answer 2

因为是奇函数，所以f(0)=0
所以B=0
有因为f(1/2)=2/5
所以a=4/5
所以f(x)=4/5 x

2 求导 导数恒大于0
所以是增函数

3 代进去去OK