Question

在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N使OM:OA=1:3,ON:OB=1:4,BM与AN交于点P，求AP：AN

在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N使OM:OA=1:3,ON:OB=1:4,BM与AN交于点P，求AP：AN （高一的题目，可能需要用到向量的知识）

Answer 1

如图所示，连接MN，做PC//MN，AD//MN//PC，得到

OM/OA=MN/AD=ON/OD=1/3  ----公式①

PN/AN=PC/AD=CN/DN ---公式②

PC/MN=BC/BN→PC=BC*MN/BN

由公式一得到AD=3MN，OD=3ON

∵OB=4ON

∴DN=OD-ON=2ON，BN=OB-ON=3ON

将AD，DN带入公式②，得到

PC/AD=BC/3BN=BC/9ON

CN/DN=CN/2ON

∴BC/9ON=CN/2ON→9CN=2BC=2BN-2CN=6ON-2CN

∴CN=6ON/11

将CN，DN带入公式②得

∴PN/AN=CN/DN=3/11

∴AP：AN=8/11

Answer 2

过N点作MB的平行线，与AO相交于Q。
在三角形OMB中，OQ:MQ=ON:NB=1：4。若OM=a,则,AM=3a，MQ=4a/5。
那么，在三角形AQN中，AP:AN=AM:AQ=AM:AM+MQ=3a:3a+4a/5=15/19