Question

我有一道高中数学题希望大家帮忙解答一下

已知数列{An}中，A1=1，前n项和Sn=n+2/3an，求A2，A3，求{An}的通项公式

Answer 1

题目为：已知数列{an}中，a1=1,前n项和Sn=（n+2）/3*an。(1)求a2,a3 (2)求{an}的通项公式
解：S2-a1=4*a2/3-a1=a2，解得a2=3a1=3
S3-a2-a1=5*a3/3-a1-a2=a3，解得a3=6
当n>=2时：
an=Sn-S(n-1)=（n+2）/3*an-（n+1）/3*a(n-1)，化简得：
an/a(n-1)=(n+1)/(n-1);
所以
an=[an/a(n-1)]*[a(n-1)/a(n-2)]*……*[a4/a3]*[a3/a2]*[a2/a1]*a1
=[(n+1)/(n-1)]*[(n)/(n-2)]*……*[5/3]*[6/3]*[3/1]*1
=[(n+1)!/24]/[(n-1)!/2]*6
=n(n+1)/2
综上，an=n(n+1)/2

这里利用了公式：
1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=(n(n+1)(n+2)/3
证明方法有三：
1.利用待定系数法，设1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=b*n^3+c*n^2+d*n+e
左边是一个二级（二阶）等差数列的前n项和，其和为三次多项式。
2.数学归纳法；
3.排列组合里面的朱世杰恒等式。

Answer 2

当n>=2时：
an=Sn-S(n-1)=（n+2）/3*an-（n+1）/3*a(n-1)，化简得：
an/a(n-1)=(n+1)/(n-1);
所以
an=[an/a(n-1)]*[a(n-1)/a(n-2)]*……*[a4/a3]*[a3/a2]*[a2/a1]*a1
=[(n+1)/(n-1)]*[(n)/(n-2)]*……*[5/3]*[6/3]*[3/1]*1
=[(n+1)!/24]/[(n-1)!/2]*6
=n(n+1)/2
综上，an=n(n+1)/2