Question

在△ABC中,abc分别是角A,B,C所对边,且4cosC*sin^2*C/2+ COS2C=0若3ab=25-c^2,求ABC面积的最大值

Answer 1

∵4cosC［sin（C/2）］^2＋cos2C＝0，∴2cosC（1－cosC）＋2（cosC）^2－1＝0，
∴2cosC－1＝0，∴cosC＝1/2，∴C是锐角，∴sinC＝√3/2。

显然有：a＞0、b＞0，∴a＋b≧2√（ab），∴（a＋b）^2≧4ab。
由余弦定理，有：c^2＝a^2＋b^2－2abcosC＝（a＋b）^2－3ab≧4ab－3ab＝ab。
∴3ab＝25－c^2≦25－ab，∴4ab≦25，∴ab≦25/4。
∴S(△ABC)＝（1/2）absinC＝（1/2）×（√3/2）ab≦（√3/4）×（25/4）＝25√3/16。
∴△ABC面积的最大值是25√3/16。