Question

一道高中数学题，急急急急急急！！！！

函数f(x)=(a-1)x^2+bx+b+1,其中a≠1，若存在实数x0，使得f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点:
1 当a=-1，b=3时，求f(x)的不动点
2 若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围

Answer 1

答：
（1）a=-1，b=3时，f(x)=(a-1)x²+bx+b+1=-2x²+3x+4
令：f(x)=-2x²+3x+4=x
所以有：x²-x-2=0
所以：(x-2)(x+1)=0
所以：x1=2或者x2=-1
所以：不动点为-1或者2

（2）f(x)=(a-1)x²+bx+b+1=x恒有两个相异的不动点
即是方程(a-1)x²+(b-1)x+b+1=0恒有两个相异的实数解
所以：
a-1≠0
判别式=(b-1)²-4(a-1)(b+1)>0
即：
a≠1
4(a-1)(b+1)<(b-1)²对任意实数b恒成立
2.1）当b+1=0即b=-1时：0<4恒成立
2.2）当b+1<0时：4(a-1)>(b-1)²/(b+1)=(b+1)-4+4/(b+1)
因为：b+1+4/(b+1)-4<=-2√[(b+1)*4/(b+1)]-4=-8
所以：4(a-1)>-8，a>-1
2.3）当b+1>0时：4(a-1)<(b-1)²/(b+1)=(b+1)-4+4/(b+1)
因为：b+1+4/(b+1)-4>=2√[(b+1)*4/(b+1)]-4=0
所以：4(a-1)<0，a<1
综上所述，-1<a<1时，f(x)恒有两个相异的不动点

Answer 2

设A、B两点的坐标为（X1，X1）、（X2，X2）。
不动点满足方程x=(a-1)x^2+bx+b+1,
移项得(a-1)x^2+(b-1)x+b+1=0
即A、B横坐标为方程两根
由伟达定理得X1+X1=(1-b)/(a-1)
因为y=kx+1/[(1-a)^2+1]是垂直平分线
所以其斜率k=-1
AB中点在此直线上
（X1+X2)/2=-(X1+X2)/2+1/[(1-a)^2+1]
把X1+X1=(1-b)/(a-1)代入，化简得
b=(1-a)/[(1-a)^2+1]+1=1/{1-a+[1/（1-a)]}+1
由（2）知-1<a<1
0<1-a<2

Answer 3

（1)将数字代入，令f(x)=x,

解方程-2x^2+3x+4=x得到x=1+根3 或1-根3写出坐标即可
(2)即f(x)=x恒有两个相异实根即方程（a-1）x^2+(b-1)x+b+1=0的判别式恒为正
有（b-1）^2-4(a-1)(b+1) >0经验证b=-1符合题意
1）b<-1时不等式解得a> 。。
2)b>-1时a<....
令b+1=t原式化简可得到a 与t/4+1/t比较大小
根据基本不等式t/4+1/t在b<-1也就是t<0时恒小于-1,b>-1时恒大于1
要恒成立大于最大值小于最小值，得到a的范围为（-1,1）经验证-1和1不符合

Answer 4

如图

追问

那步x^2-4ax+4大于0是怎么跳到4-4a^2＞0的？

追答

就是使x不等式在R恒成立的条件

追问

哦！！我懂了，谢谢！