Question

已知函数fx=ax-Inx,x∈(0,e),gx=Inx/x，

已知函数fx=ax-Inx,x∈(0,e),gx=Inx/x，其中e是自然对数的底数，a∈R
(1)当a=1时，求fx的极值，并证明丨fx丨>gx+1/2恒成立
(2)是否存在实数a，使fx的最小值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）当a=1时，f(x)=x-lnx。f'(x)=1-1/x.(即对f(x)求导).f'(x)=0时，得x=1，即此时f(x)取得极值。f''(x)=1/x^2>0。所以x=1为f（x）的极小值。带入可得f(x)的极小值为1.f(x)仅有一个极小值，所以是全局极小值，即函数的最小值。
对g(x)求导，可得g'(x)=(1-lnx)/x^2.g'(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,e)上是增函数。g(x)<g(e)=1/e.e约等于2.71828>2.故g(x)+1/2<1.也就是f（x）的最小值。证毕。
（2）f'(x)=a-1/x.要使f(x)取极小值，需要f'(x)=0.则x=1/a.带入f(x)得1+lna=3.得lna=2.a=e^2>e。不在定义域范围内，所以不存在。