Question

设a1,a2...an是1,2...n的一个排列求证1/2+2/3+...+n-1/n小于等于a1/a2+a2/a3+..an-1/an

Answer 1

本题答案由电灯剑客老师给出：

首先假设a_1，a_2...a_n中，a_1，a_2……a_（n-1）（也就是分子中）中有n
那么我们把n换成{1，2……，n-1}中漏掉的那个，即a_n
比如第i个是n，那么
a_（i-1）/a_i+ a_i/a_（i+1）
=a_（i-1）/a_i +n/a_（i+1）
>=a_（i-1）/a_i +a_n /a_（i+1）
这样分子就都是{1，2……，n-1}中的数了，
再如果a_2,a_3，……，a_n（即分母中）中有出现1，那么把1换成{2，3，……，n}中漏掉的那个，即a_1
比如第k个是1，那么
a_（k-1）/a_k+ a_k/a_（k+1）
=a_（k-1） /1+ a_k /a_（k+1）
>=a_（k-1） /a_1+ a_k /a_（k+1）
说明任意序列都会大于经过调整后的的情况也就是：
分母只有{2，3，……，n}
现在分子中{a_1，a_2...a_(n-1)}={1，2……，n-1}
{a_2，a_3...a_n}={2，3……，n}得到{1/a_2,1/a_3,......1/a_n}={1/2,1/3,......1/n}
而由排序不等式

a_1/a_2+a_2/a_3+..a_(n-1)/a_n>=
1/2+2/3+...+n-1/n

Answer 2

1/a1,1/a2,......1/an是1/1,1/2,1/3,......1/n的一个排列，将这两个排列用一下排序不等式即可。