Question

已知函数f(x)=|2^x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论

已知函数f(x)=|2^x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b>=0,c>0
C.2^-a<2^c
D.2^a+2^c<2
请解释一下C，谢谢

Answer 1

f(x)=|2^x-1|
当2^x-1≥0，即x≥0时，f(x)=2^x-1，此时f(x)是递增的
当2^x-1<0，即x<0时，f(x)=-(2^x-1)，此时f(x)是递减的
a，b，c中，a最小，但f(a)反而最大，则一定有a<0，（因为如果a≥0，则a，b，c均为非负数，函数递增，f(a)肯定最小）；b<c，而f(c)>f(b)，则c肯定大于零，（因为如果c<0，则a，b，c均为负数，函数递减，f(c)<f(b)）
不能确定b是否为负数

f(a)=-(2^a-1)=1-2^a
f(c)=2^c-1
f(a)>f(c)
1-2^a>2^c-1
2^a+2^c<2
所以答案为D

因为f(a)>f(c)，f(a)=1-2^a<1，f(c)=2^c-1<1，则c<1，2^c<2。C只能举反例，令a=-1，则f(a)=1-2^a=1/2，2^-a=2>2^c，此时C不成立