Question

微分中谁是谁的高阶无穷小

Answer 1

[15:14:39]在微积分中，若给定两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，当 $x$ 趋近于某个数 $a$ 时，如果有 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。具体来说，如果存在自然数 $k$，使得 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{(g(x))^k} = 0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的 $k$ 阶无穷小。

举例来说，当 $x$ 趋近于 0 时，$\sin x$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，因为 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$；而 $\ln(1+x)$ 和 $\sqrt{x}$ 在$x=0$ 处同为一阶无穷小，但 $\ln(1+x)$ 比 $\sqrt{x}$ 更高阶。