Question

双曲抛物面为什么是直纹面

Answer 1

双曲抛物面是一种经典的几何学图形，它是由一个向上或向下开口的双曲抛物体沿着某个轴旋转而成的。而作为旋转曲面的双曲抛物面在某些情况下被定义为直纹面，可以从以下两个方面来解释：

1. 相切线的性质

双曲抛物面沿着一个轴旋转而成的过程中，其某个截面与该轴垂直的双曲线在各个位置处的切线都与该轴平行。也就是说，双曲抛物面在每个点处的切平面都会与轴产生一个固定的交角，这种性质被称为“相切线的性质”（a ruling）。双曲抛物面是沿着一条直线进行旋转而成的，因此其相切线也都平行于该直线，这种线行被称为“直纹”（directrix）。

2. 联系生成方式

双曲抛物面也可以通过将线段作为发生器，在空间中绕着一个固定的点旋转而生成。在这个生成过程中，每个发生器都可以看作是双曲面的一条相切线，对应的轨迹也就是直纹面上的一条直线。这种生成方式被称为“直线打轴”（line pairing），而双曲抛物面也因此被认为是直纹面。

因此，双曲抛物面被认为是直纹面，主要是由于其相切线的性质以及其特殊的生成方式，它的每条相切线都与直纹面产生了联系。简单来说，双曲抛物面上的每个切线都是直纹面上的一条直线。