Question

已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2+x,a属于R

是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：f'(x)=1/x-ax+1=(-ax^2+x+1)/x，函数的定义域为（0，+∞）
⑴若a≤0，则f'(x)＞0，函数在定义域上单调递增，不存在极值
⑵若a＞0，则令f'(x)=0，并注意到x>0，可得x=(1+√(1+4a))/(2a)
当0<x<(1+√(1+4a))/(2a)时，f'(x)>0，当x>(1+√(1+4a))/(2a)时，f'(x)<0，
所以当x=(1+√(1+4a))/(2a)时，函数f(x)有极大值
因此题设等价于　存在实数a，使得　f(x)的极大值大于0，
　而a的取值范围是A={a|存在实数a(a>0)，使得f(x)的极大值大于0}
( 以下，先求A在正实数集R中的补集，再求出集合A)
A在古实数集R中的补集为B={a|对任意实数a>0，使得f(x)的极大值小于或等于0}
即　f(x)≤0恒成立，
从而得　1/2a≥(lnx+x)/x^2恒成立，令g(x)=(lnx+x)/x^2，则只须求函数g(x)的最大值.
因为　g'(x)=(1-x-2lnx)/x^3，设u(x)＝1-x-2lnx，则u'(x)=-1-2/x＜0，故
u(x)在（0，+∞）上单调递减，而u(1)=0，所以
当　0<x<1时，u(x)>u(1)=0，即g'(x)>0；当x>1时，u(x)<u(1)=0，即　g'(x)>0
因此　当时x＝1时，g(x)取最大值g(1)=1，于是　1/2a≥1，a≥2
所以 B=[2，+∞)，从而得A=(0，2)
即实数a的取值范围是　(0，2)

Answer 2

显然x>0
令f'(x)=1/x－ax+1=0，等价于ax^2-x-1=0
（1）当a=0时，上述方程解为x=-1,与x>0矛盾
则a=0时f(x)不存在极值
（2）当a>0时，因⊿=1+4a≥0，且抛物线y=ax^2-x-1对称轴x=1/2a>0
则a>0时f(x)总存在极值
（3）当a<0时，因抛物线y=ax^2-x-1的纵向截距c=-1<0，且开口向下
则方程ax^2-x-1=0必无正数解
即a<0时f(x)不存在极值

由于a>0时f(x)总存在极值
极值点由ax^2-x-1=0有x=[1±√(1+4a)]/(2a)
考虑到x>0，而√(1+4a)>1
则极值点为x=[1+√(1+4a)]/(2a)
显然当x>[1+√(1+4a)]/(2a)时
因x-1/(2a)>√(1+4a)/(2a)>0
则由不等式性质有a[x-1/(2a)]^2>a[√(1+4a)/(2a)]^2
即ax^2-x-1>0，即f'(x)<0，表明f(x)在区间（[1+√(1+4a)]/(2a)，+∞）上递减
由此可断定该极值点为最大值点

要使得f(x)的极值大于0
即使得f(x)的最大值大于0
于是f{[1+√(1+4a)]/(2a)}>0（其中a>0）
即有ln{[1+√(1+4a)]/(2a)}+[1+√(1+4a)]/(4a)-1/2>0
令[1+√(1+4a)]/(2a)=m
即有lnm+m/2-1/2>0
显然m>1（根据经验，或利用函数解不等式）
所以[1+√(1+4a)]/(2a)>1（其中a>0）
即√(1+4a)>2a-1（其中a>0）
若令g(a)=√(1+4a)（其中a>0），h(a)=2a-1（其中a>0）
易知g(a)和h(a)均为增函数
但g(a)随着a的增大趋缓，而h(a)为一次函数
则g(a)与h(a)在a>0时必有一个交点
不妨令√(1+4a)＝2a-1
解得a=2
显然当0<a<2时，g(a)>h(a)
而当a>2时g(a)<h(a)
反推可知当0<a<2时f(x)的最大值大于0