Question

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈[0,π],求最大值和最小值

Answer 1

解
f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=sin2x-(1-2sin²x)+1
=sin2x-cos2x+1
=√2(√2/2sin2x-√2/2cos2x)+1
=√2sin(2x-π/4)+1
∵x∈[0,π]
∴2x-π/4∈[-π/4,7π/4]
∴sin(2x-π/4)∈[-√2/2,1]
∴f(x)的最小值为：f(x)min=-1+1=0
最大值为：f(x)min=√2+1

追问

∵x∈[0,π]
∴2x-π/4∈[-π/4,7π/4]
∴sin(2x-π/4)∈[-√2/2,1]
∴f(x)的最小值为：f(x)min=-1+1=0
这好象不对吧
应该∴sin(2x-π/4)∈[-1,1]

追答

在
2x-π/4=-π/4
sin(2x-π/4)是最小的，∴是-√2/2
取不到-1

追问

∵x∈[0,π]
∴2x-π/4∈[-π/4,7π/4]
当2x-π/4=3π/2时,sin(2x-π/4)=-1

追答

你是对的，我算错了，不好意思

追问

我这样写的,你看对吗
f(x)=2sinx(sinx+cosx)=1-cos2x+sin2x=-√2cos(2x+π/4)+1
∵x∈[0,π]
∴2x+π/4∈[π/4,9π/4]
∴cos(2x+π/4)∈[-1,1]
∴f(x)的最小值为-√2+1
最大值为：√2+1

追答

没错，也可以这样

Answer 2

f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=sin2x-cos2x+1
=√2sin(2x-π/4)+1
当2x-π/4=2kπ+π/2,k∈Z
即 x=kπ+3π/8,k∈Z时，
因为x∈[0,π],
所以,当X=3π/8
f(x)取得最大值√2+1
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

追问

最小值呢

追答

最小值=√2*(-√2/2)+1=0
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

追问

最小值=√2*(-√2/2)+1=0这好象不对吧

追答

最小值是取不到-1的,因为x取不到/3π2
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

追问

当2x-π/4=2kπ-π/2,k∈Z
x=kπ-π/8,k∈Z时，
因为x∈[0,π],
所以,当X=7π/8
最小值=-√2+1

追答

这样写完全正确
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!