Question

抽象函数的定义域求取

关于自学抽象函数的定义域时遇到的问题：
题①：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,3]，求函数y=f(x)的定义域
解:设2x+1=t,∵1≤x≤3，∴3≤2x+1≤7,即3≤t≤7,∴函数y=f(x)的定义域为[3,7]
题②：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域
∵y=f(2x+1)的定义域是[1,2],∴1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5,∴函数y=f(x)的定义域为[3,5]
∴y=f(2x-1)的定义域应满足3≤2x-1≤5,∴2≤x≤3,所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3]
疑问：
一、题①中将定义域视为x的取值范围，为什么题②中求2x-1的定义域时不能直接取[1,2]或[3,5]而要将[3,5]再带入2x-1计算？
二、题②中两个函数的定义域究竟指的是什么？
三、参考书里提到了整体带入，为什么给定的定义域的范围不能直接带入？(如题①中的定义域[1,3],为什么是x的范围而不是2x+1的范围)

Answer 1

定义域是自变量的取值范围。而自变量必须是一个字母表示的变量。不能是代数式。

所以这几个函数不管形式如何变化，自变量都是x，例如y=f(2x+1)的自变量是x而不能是2x+1。
所以y=f(2x+1)的定义域是[1，3]的含义就是说y=f(2x+1)的x取值范围是[1，3]，那么f（）括号下的2x+1的取值范围就要根据x的取值范围求出来，求出来后就知道括号下的范围要求，而这个范围要求就是f（x）的x取值范围要求，即f（x）的定义域。

记住，定义域必须是一个字母的变量的取值范围，绝对不能是一个代数式的取值范围。

追问

x的范围就是定义域吗？那f（）括号下的2x+1的范围为什么还称之为定义域？

追答

y=f(2x+1)的定义域不是指2x+1的范围，还是指x的范围。所以相同的f（）形式，y=f（x）和y=（2x+1）这两个函数的定义域会不同。f（2x+1）括号下的2x+1的范围是f（x）的定义域。因为令t=2x+1，则y=f（t），这时候2x+1的范围就是t的取值范围，也就是y=f（t）的定义域，当然也就是y=f（x）的定义域。

有时候抽象函数觉得不好理解，不妨试着把抽象函数具体化来理解，例如假设f（x）=x²

那么y=x²的定义域是指x的取值范围
y=（2x+1）²的定义域，还是指x的取值范围。难道你看到y=（2x+1）²这个函数式的时候，你会把2x+1的范围当作定义域吗？

追问

是不是y=f（x）的x的范围是定义域，y=（2x+1）中间代数式换为t这个字母后，t的范围是定义域，也就是说这两个函数的x含义不同？如果将y=（2x+1)的x换为a，变成y=（2a+1)，然后设2a+1=x,此函数的定义域是否就是x的取值范围？

追答

如果将y=（2x+1)的x换为a，变成y=（2a+1)，然后设2a+1=x,此函数的定义域是否就是x的取值范围？但是这个时候y就不再等于2x+1了，而是y=x（新的等于2a+1的x），那么这个新的x的取值范围是y=x的定义域，而不是原来y=（2x+1)的定义域。记住，当你用换元法变换自变量的同时，也必须跟着改变函数式。

所以前面t=2x+1，则y=f（t）的过程中，用t=2x+1替换了x的代数式，同时也用y=f（t）替换了y=f(2x+1)的函数式。这是必须要紧记的。

如果将y=（2x+1)的x换为a，变成y=（2a+1)，然后设2a+1=x,此函数的定义域是否就是x的取值范围？但是这个时候y就不再等于2x+1了，而是y=x（新的等于2a+1的x），那么这个新的x的取值范围是y=x的定义域，而不是原来y=（2x+1)的定义域。记住，当你用换元法变换自变量的同时，也必须跟着改变函数式。

所以前面t=2x+1，则y=f（t）的过程中，用t=2x+1替换了x的代数式，同时也用y=f（t）替换了y=f(2x+1)的函数式。这是必须要紧记的。

Answer 2

抽象函数的定义域:
在同一法则f下,不论输入数或式，都满足f(x)的定义域。
而y=f(2x+1),y=f(2x-1)的自变量是x.

题①：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,3]，求函数y=f(x)的定义域

函数y=f(2x+1)中2x+1的范围是y=f(x)的定义域。
题②：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域
函数y=f(2x-1)的定义域先要求2x-1的范围，2x-1的范围与y=f(2x+1)中2x+1的范围相同。在同一法则f下,不论输入数或式，都满足f(x)的定义域。
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望有帮助。

Answer 3

一、f(t)=f(2x+1)=f(2x-1)
所以当你求出2x+1的范围时也就是t和2x-1的范围，所以[3,5]代入2x-1进行计算（这个你要好好看一下书中的定义，参考题型去理解）
二、题②中的定义域指的是x
三、f(2x+1)中的变量是x，所以定义域指的是x
附加：如果f(x)的定义域为[1,2]，那么f(2x+1)的定义域为1≤2x+1≤2→0≤x≤1/2→[0,1/2]
仔细看这一节的书本和例题就会参透的，这种题型是必须掌握

追问

若一道抽象函数的题目内出现了f(2x+1)和f(2x-1)，是否都能用一个f(t)来代替？