Question

设点P在曲线y=1/2ex设点P在曲线y=1/2e^x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则∣PQ∣的最小值为

Answer 1

由y=(1/2)e^x得到：e^x=2y ===> x=ln(2y)
所以，其反函数就是y=ln(2x)
可见，P、Q两点所在的曲线关于直线y=x对称
设P(x,(1/2)e^x)
那么，P到直线y=x，即x-y=0的距离d=|x-(1/2)e^x|/√2
令g(x)=x-(1/2)e^x
则，g'(x)=1-(1/2)e^x
所以，当g'(x)=0时有x=ln2
此时，d=|ln2-1|/√2=(√2/2)*(1-ln2)
所以，PQ的最小值=2*[(√2/2)*(1-ln2)]=√2*(1-ln2)