Question

ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根 a为整数 求所有的a

a≠0

Answer 1

根据一元二次方程根的判别式△
首先必须△=[-2(2a-1)]^2-4a[4(a-3)]=32a+4是一个完全平方数
∵32a+4=2^2(8a+1)
所以8a+1必须是完全平方数。
∵a是整数，8a+1是奇数，
∴设8a+1=(2k-1)^2,k是整数
则a=k(k-1)/2
∵a>0所以k>1或k<0
此时△=(4k-2)² ，方程aX²-2(2a-1)X+4(a-3)=0的根是
X=[2(2a-1)±√△]/2a
∴X1=2(k+2)/k,X2=2(k-3)/(k-1)
若X1是整数，则设2(k+2)/k=b，b是整数
则k=4/(b-2)
∴k只能等于±4，±2，±1但k=1与k>1或k<0不符，舍去
∴k=±4，±2，-1
对应的a=6,10,1,3,1。
若X2是整数，则设2(k-3)/(k-1)=c，c是整数
k=(c-6)/(c-2)=1-4/(c-2)
∴k-1=±4，±2，±1但k-1=-1与k>1或k<0不符，舍去
∴k=5,3,2,-3,-1
对应的a=10,3,1,6,1。
∴当a=1,3,6,10时
方程aX²-2(2a-1)X+4(a-3)=0至少有一个整数解。

Answer 2

a=0时，方程变为-2x-12=0
x+6=0 x=-6，解为整数，a=0满足题意
a≠0时，方程为一元二次方程
a(x+2)²=2x+12
x=-2时，左=0，右=8，等式不成立，因此x≠-2
a=(2x+12)/(x+2)²
(x+2)²-(2x+12)
=(x+2)²-2(x+2)-8
=(x+2-4)(x+2+2)
=(x-2)(x+4)
x>2或x<-4时，(x-2)(x+4)>0 (x+2)²>2x+12，2x+12不能被(x+2)²整除，不满足题意，因此只有
-4≤x≤2且x≠-2，又a=2(x+6)/(x+2)²，分子为偶数，要a为整数，只有x+2为偶数，x只能为-4、0、2。
令x=-4，得a=(-8+12)/(-4+2)²=1
令x=0，得a=12/(0+2)²=3
令x=2，得a=(4+12)/(2+2)²=1
综上，得a=0或a=1或a=3，共有3个解。