Question

X的分布函数F（x）= 0 （x≤1） 1-x^-λ(x＞1） Y=lnX 求y的概率密度 答案为何直接写由于p（x＞1）=1，

故y≤0时F（y）=0，y＞0时F（y）=P（1﹤X﹤e^y），不知道为什么这么写，还有就是Y与y到底是什么关系，是不是根据Y=lnX，可以得到小y与小x的关系，在根据小x的范围把小y的范围算出来，但是这个小y的范围就是大Y的范围，如果不是怎么确定打Y 的范围

Answer 1

感觉楼主对概率分布函数特别是连续型的分布密度函数的概念比较模糊。
先说说Y与y的关系。一般说来，我们常用大写的字母例如Y表示随机变量，对于随机变量，你可以将它理解成一函数，它的定义域是样本空间，但可能我这样讲不容易你理解。那这样讲，随机变量就一函数或者称为映射。它将现实中的种种可能中的一可能映射成了一值，而此值，我们就用小写的y来表示。
然后来说你的问题里面表达的不准确的地方。小写的y只是随机变量可能的取值，它就一数字，是确定的东西，没有随机性。真正有随机性的是Y这随机变量。所以你说“求y的概率密度函数”其实应该是“求Y的概率密度函数”而“p(x>1)=1”应该是P(X>1)=1。记住小写的字母只代表了一数字，例如这样写P(X=x)也可以代表了X这随机变量取一数字（此数字的值等于x）时的概率。在概率论中P(X=x)即为密度函数，常记为p(x)。注意这里的x是小写的代表了取x值时的概率。
同样地，分布函数的定义是P(X<=x)，常即为F(x)，所以按照你题目的意思，随机变量X在取小于等于1的值时概率为0，转换成数学语言即F(x)=0,x<=1时。由于Y这随机变量是由X完全决定的，即有Y=lnX的关系，所以在取值上也有对应的关系。具体说，若X取了x值，那Y的取值y就不可以乱取其他值了，而只可以是y=lnx了。这样由于F(x)=0,x<=1，这等价于F(lnx)=0,lnx<=0时。所以也即F(y)=0，y<=0时。