Question

如图，已知三角形ABC，AB=AC，角BAC=90度，D为CB延长线上一点，连AD，以AD为边在三角形ABC

如图，已知三角形ABC，AB=AC，角BAC=90度，D为CB延长线上一点，连AD，以AD为边在三角形ABC的同侧作正方形ADEF（1）求证：AB垂直于EB；（2）探究DC,BC,EB的数量关系。

Answer 1

  AB=AC，∠BAC=90°；ADEF为正方形；

（1）∠ABD=180°-45°=135°，弧ABD是四分之一圆周，即B在正方形ADEF的外接圆上；

因 ∠ABE所对弦AE是正方形的对角线，亦即外接圆的直径，∴ ∠ABE=90°，AB⊥BE；

（2）连接BF，则 由AC=AB，AD=AF，∠CAD=BAF，得 △CAD≌△BAF，∴BF=DC；

同时，∠ABF与∠EBF所对弦AF=EF是在同一圆上，故两角相等，∴ BF⊥CBD；

在RT△ABE和RT△DBF中，根据勾股定理：AE²=EB²+AB²，DF²=BF²+DB²=DC²+(DC-BC)²；

∴ EB²+AB²=DC²+(DC-BC)²；

EB²=2DC²+BC²-AB²-2DC*BC=2DC²+BC²/2-2DC*BC=2[DC -(BC/2])²；或 2DC=BC+√2EB；