Question

若函数y=f(x)在区间(-2,1)上单调递增,求b的取值范围

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,且以曲线y=f(x)上的点P（1，f(1))为切点的切线方程为y=3x+z
若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增 求b的取值范围
快！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

答：
点P（1，f(1))的切线方程为y=3x+2
所以：f(1)=y=3*1+2=5，f'(1)=3
f(x)=x³+ax²+bx+c求导得：
f'(x)=3x²+2ax+b
则有：
f(1)=1+a+b+c=5
f'(1)=3+2a+b=3
联立解得：a=-b/2，c=4-b/2
所以：f'(x)=3x²-bx+b
f(x)在[-2,1]上递增
说明：在该区间上f'(x)>=0
所以：f'(x)=3x²-bx+b>=0在区间[-2,1]上成立
当对称轴x=b/6<=-2即b<=-12时，f'(x)在x=-2处取得最小值：f'(-2)=12+2b+b>=0，b>=-4，不符合
当对称轴-2<=x=b/6<=1时，f'(x)最小值为f'(b/6)=b-b²/12>=0，解得：0<=b<=6
当对称轴x=b/6>=1即b>=6时，f'(x)在x=1处取得最小值：f'(1)=3>0恒成立
综上所述，b>=0

追问

我想问，为啥对称轴有这几种情况，这里只需满足f(x)导在-2到1大于0即可，为什么不是f(-2)>0,f(1)>0

追答

因为对称轴的位置决定了二次函数的单调区间，从而会影响最大值、最小值的位置

Answer 2

同学你好：

解:求导函数f'(x)=3x^2+2ax+b
由题意:3*1^2+2*1*a+b=3 (Ⅰ)
3*(-2)^2-2*2*a+b=0
则 a=2 b= -4
又p点(1,4),代入函数得:c=5
故f(x)=x^3+2x^2-4x+5
欲单调递增,需导函数在此区间上的值恒大于等于0
f'(x)=3x^2+2ax+b
由(Ⅰ)知f'(x)=3x^2-bx+b
对称轴x=b/6
当b/6≤-3时,f'(-3)≥0 得:x无解
当-3＜b/6≤1时,(b-b^2/12)≥0 得:0≤b≤6
当b/6＞1时,f'(1)≥0 得 :b＞6
综上: b≥0

您好，土豆实力团为您答疑解难。
如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳。
答题不易，请谅解，谢谢。
另祝您学习进步！

追问

写错啦，不是-3，是-2

追答

额。笔误。。。

Answer 3

分析题c 和z是糊弄人的
f‘（x）=3x2+2ax+b f'(1)=3=3+2a+b
2a+b=0 a=-b/2
f（x）递增 f'(x)非负（且不能连续为0）
f‘（x）=3x2-bx+b 对称轴b/6
（1）b/6＜-2，f‘（x）递增 f’（-2）≥0 12+3b≥0 （舍）此段无解
（2）b/6在区间内 6≥b≥-12 则△≤0 b2-12b≤0 12≥b≥0 b∈【0,6】
（3）b≥6 f‘（x）递减 可行
综上 b∈【0，+无穷）