高等数学 向量
高等数学向量三重内积为什么三重内积a·(b×c)可以表示平行六面体的体积???a.b.c为平行六面体一个端点的三条直线。。。...
高等数学 向量 三重内积
为什么三重内积a·(b×c)可以表示平行六面体的体积???
a.b.c为平行六面体一个端点的三条直线。。。 展开
为什么三重内积a·(b×c)可以表示平行六面体的体积???
a.b.c为平行六面体一个端点的三条直线。。。 展开
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这不叫三重内积,而是混合积:
a·(b×c)一般用:[a,b,c]表示,几何意义:
首先,a·(b×c)是一个标量
其次,[a,b,c]不一定表示平行六面体的体积,准确的说:
是|a·(b×c)|表示平行六面体的体积
应为a、b、c可以组成右手系,也可以组成左手系
只有当a·(b×c)时正数时,才表示平行六面体的体积
第三,|b×c|表示以b和c为邻边的平行四边形的面积
当a、b、c组成右手系时,b×c的方向与a的方向在平面的同一侧(b和c确定的平面)
此时平行六面体的高等于a在b×c上的投影
即:h=|a|*cosα=|a|*(a·(b×c)/(|a|*|b×c|))
而体积:V=Sh=|b×c||a|*cosα=a·(b×c)
左手系时要加绝对值
a·(b×c)一般用:[a,b,c]表示,几何意义:
首先,a·(b×c)是一个标量
其次,[a,b,c]不一定表示平行六面体的体积,准确的说:
是|a·(b×c)|表示平行六面体的体积
应为a、b、c可以组成右手系,也可以组成左手系
只有当a·(b×c)时正数时,才表示平行六面体的体积
第三,|b×c|表示以b和c为邻边的平行四边形的面积
当a、b、c组成右手系时,b×c的方向与a的方向在平面的同一侧(b和c确定的平面)
此时平行六面体的高等于a在b×c上的投影
即:h=|a|*cosα=|a|*(a·(b×c)/(|a|*|b×c|))
而体积:V=Sh=|b×c||a|*cosα=a·(b×c)
左手系时要加绝对值
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