Question

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N.

（I）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小；
（Ⅲ）求证：平面SAC⊥平面AMN．

Answer 1

连接BD交AC于O，则OB=OD
OB=OD DM=MS
SB∥MO MO∈平面ACM
所以SB∥平面ACM

过M作MH∥SA交AD于H，则MH⊥平面DAC
过H作HF∥BD交AC于E，则HF⊥AC，连接ME
则角MEH即为二面角
tg∠MEH=MH/ME=1/2*SA/根号2/2*SA=根号2/2
二面角D-AC-M的大小为arctg根号2/2

因为SA⊥底面ABCD，所以SA⊥CD
因为SA=AB=CD，所以可知△SCD是等腰直角三角形
又点M是SD的中点，则有 AM⊥SD
因为SA⊥CD，AD⊥CD，所以 CD⊥平面SAD
又AM在平面SAD内，则 CD⊥AM
这就是说AM垂直于平面SCD内的两条相交直线SD.CD
所以 AM⊥平面SCD
则有 AM⊥SC
又AN⊥SC，所以：SC⊥平面AMN
因为SC在平面SAC内，
所以 平面SAC⊥平面AMN

Answer 2

以A为原点建立空间直角坐标系，AB为x轴AD为y轴m粒游帷I枵叫伪叱の玻幔孟袢币桓鎏跫?应该还有SA＝AB吧，这样才能做d把S，B，C，M四点坐标求出来，利用向量求余弦值