Question

已知关于X的两个方程2x^2+(m+4)x+m-4=0①与mx^2+(n-2)x+m-3=0②

方程①有两个不等的负实数根，方程②有两个实数根，（1）试说明方程②的两根符号相同。（2）设方程②两根分别为α，β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值

Answer 1

解：∵方程①有两个不等的负实数根，所以根据Δ值和根与系数关系，可得：
Δ=(m+4)²-4×2×（m-4）>0...(1)；x₁₁+x₁₂= -(m+4)/2<0...(2)；x₁₁·x₁₂=(m-4)/2>0...(3)
(1)(2)(3)联立解得：m>4。对于方程②，应有Δ=(n-2)²-4×m×(m-3)≥0即(n-2)²≥4×m
×(m-3)>16(∵m>4)，肯定有n<-2或n>6...(4)。
（1）当m>4时，对于方程②，根据根与系数关系得：x₂₁·x₂₂=(m-3)/m>0...(5)。这就说明x₂₁和x₂₂同为正数或同为负数，但不可能同时为0。
（2）当m>4时，x₂₁+x₂₂=α+β=α+2α=3α=-(n-2)/m...(6)；x₂₁·x₂₂=2α²=(m-3)/m...(7);
(6)(7)联立解得：(n-2)²=4.5m(m-3)...(8)（注：(8)成立时(4)必然成立）。当m>4时，抛物线9/2m(m-3)取右半支，(n-2)²=4.5m(m-3)=4.5(m-1.5)²-81/8≥18。可推断：n≥7或n≤-3。当n是整数时，m(m-3)为偶数，1/2m(m-3)是整数，9/2m(m-3)是9的倍数且必须为某整数平方(∵(n-2)²为整数平方），则满足此条件(n-2)²比较小的值为36或81。但(n-2)²=36时，可推出m(m-3)=8，它没有整数解。当(n-2)²=81时，推出m(m-3)=18，它的整数解为m=6。即m最小整数值是6，此时n=11或n=-7。

Answer 2

由方程一有两个不等负实根得
Δ1=(m+4)^2-8(m-4)>0即m^2+32>0显然成立
且f(0)=m-4>0
且对称轴-(m+4)/4<0即m+4>0
故m>4>0
m-3>1>0
设方程二两根为a,b(打不出希腊字母，凑和一下)
则ab=(m-3)/m>0
故a,b同号
若a:b=1:2
则b=2a
显然以a,2a为两根的方程形如kx^2-3kax+2ka^2=0(k为一常数)
故9k*2ka^2=2(3ka)^2
即9m(m-3)=2(n-2)^2
由上面m>4
可得m>=5
从而3m(m-3)>0
从而n>2
由于n也是整数
从而n-2是3的倍数
这样右端就是9的倍数
n>=5
n=5时m(m-3)=2不可能
n=8时m(m-3)=8不可能
n=11时m(m-3)=18,m=6,m-3=3;
故m最小整数值是6

Answer 3

1)2x^2+(m+4)x+m-4=0
-(m+4)/2<0,(m-4)/2>0
∴m>4
(m-3)/m>0
因此，方程②的两根符号相同

2）α：β=1：2

β=2α

α+β=-(n-2)/m,αβ=(m-3)/m
α=-(n-2)/(3m),α²=(m-3)/(2m)
[-(n-2)/(3m)]²=(m-3)/(2m)
m(m-3)/2=[(n-2)/3]²
m/2=m-3
m=6