Question

因式分解(x +1)^4 (x +3)^4-272请使用换元法

Answer 1

是这样的吗？
记x+2=t,
（x+1)^4+(x+3)^4-272
=(t-1)^4+(t+1)^4-272
=2t^4+12t^2-270
=2(t^2-9)(t^2+15)
=2(t-3)(t+3)(t^2+15)
=2(x-1)(x+5)(x^2+4x+19).

参考以下的做法：

（x+1）^4+(x+3)^4-272
=(x+3)^4-4^4+(x+1)^4-2^4
（平方差）
=[(x+3)^2-4^2][(x+3)^2+4^2]+[(x+1)^2-2^2][(x+1)^2+2^2]
（平方差）
=(x-1)(x+7)[(x+3)^2+4^2]+(x-1)(x+3)[(x+1)^2+2^2]
（提取公因式，再整理）
=2(x-1)（x^2+4x+19)(5+x)

追问

(t-1)^4+(t+1)^4-272是怎么到下面一步的？

追答

(t-1)^4=[(t-1)^2]^2=(t^2-2t+1)^2=t^4+4t^2+1-4t^3+2t^2-4t

(t+1)^4=(t^2+2t+1)^2=t^4+4t^2+1+4t^3+2t^2+4t
故有(t-1)^4+(t+1)^4=2t^4+12t^2+2

Answer 2

解答：
设x+2=y.
(x+1)^4+(x+3)^4-272
=(y-1)^4+(y+1)^4-272
=2y^4+12y^2-270
=2(y^2-9)(y^2+15)
=2(y-3)(y+3)(y^2+15)
=2(x-1)(x+5)(x^2+4x+19).