Question

数学的韦达定理的内容是什么?主要运用到什么方面?谁能帮我讲详细点！

Answer 1

韦达定理(Vieta's Theorem）的内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
　　设两个根为X1和X2
　　则X1+X2= -b/a
　　X1*X2=c/a
　　不能用于线段
　　用韦达定理判断方程的根
　　若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac<0 则方程没有实数解韦达定理的推广 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
　　它的根记作X1,X2…,Xn
　　我们有
　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求积。
　　如果一元二次方程
　　在复数集中的根是，那么
　 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定 理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数 基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

Answer 2

个人认为所有题型在此，认真看完，再自己做，应该没问题了~~~~~~~~~ 举例子:

3x^2+8x+4=0
X1+X2=-8/3
X1×X2=4/3 很容易得出两个根：
X1=-2 X2=-2/3
韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB∣=∣x1-x2∣ = 或∣AB∣=∣y1-y2∣ = ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x1、x2分别表示弦的两个端点的横坐标，y1、y2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。解：易知直线的方程为y=2(x- ). 联立方程组y2=2px和y=2(x- ) 消去x得y2-py-p2=0.∵△=5p2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦长d= 例2,直线y=kx-2交椭圆x2+4y2=80交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则∣PQ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x2+4y2=80消去y得(4k2+1)x2-16kx-64=0设P(x1,y1),Q(x2,y2). 由韦达定理得x1+x2= = 4得k= .x1x2= -32∣PQ∣=6 .练习1：过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同)二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax2(a>0)与曲线 y2+3= x2+4y交点的个数应是___________个.分析：联立方程组y=ax2(a>0)与y2+3=x2+4y.消去x得y2-(1/a+4)y+3=0(a>0)因为 所以,方程有两个不等正实根。由y=ax2 得出，有四个不等的x解，故二曲线的交点有4个。三，求弦中点坐标例4，已知直线 x-y=2与抛物线 y2= 4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________________.分析：联立方程组 x-y = 2和y2= 4x.消去x 得 y2-4y-8=0由韦达定理得y1 + y2 = 4,线段AB中点的纵坐标y= , 横坐标x= y+2= 4. 故线段AB中点坐标为（4，2）.练习2：求直线y= 和圆x2+y2=16相交所成的弦的中点坐标。四，求曲线的方程例5，顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为 .求此抛物线方程。解：设抛物线方程为 y2=2px, 联立方程组y2=2px 和 y=2x+1消去y 得4x2+2(2-p)x+1=0.又由韦达定理得x1+x2= x1x2= .于是有解得 p= -2 或 p=6. 故抛物线方程为 y2= -4x 或 y2=12x.例6,抛物线 y= - .与过点M(0,-1)的直线L相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=kx-1.联立方程组y=kx-1和y=- 消去y 得 x2+2kx-2=0.由韦达定理得x1+x2=-2k, x1x2= -2. 又 则直线 L 的方程为 y = x-1.练习3：直线L在双曲线2x2-3y2=6上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线L的方程.练习4:求m的值使圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0的两个交点A、B满足OA⊥OB.练习5:一条直线与抛物线y2=x及y轴分别交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x3,y3).求证：______________________________练习1提示：易知抛物线的焦点为（1，0），设过焦点的直线为y=k(x-1)(由x1+x2=6知此直线不平行于y轴，斜率k存在)联立方程组y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0 由韦达定理得x1+x2 =2(k2+2) /k2=6,解得k2=1又x1x2=1.从而可求|AB|=8.练习2提示：联立方程组y= 和x2+y2=16,消去y得方程5x2-10x-39=0,由韦达定理得x1+x2=2练习3提示：设直线L的方程为y=2x+m. 联立方程组y=2x+m和2x2-3y2=6消去y得10x2+12mx+3(m2+2)=0.令直线L与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由韦达定理得x1+x2 = - ,x1x2 = 42=[( x1+x2)2- 4x1x2](1+22 )=[(- )2-4· ]·5,解得 m =± ∴直线L的方程为y=2x± 【知识延伸】 例1 已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7 ,求a的值. 解析 设方程的两实根为x1,x2,根据韦达定理,有 于是,x =(x1+x2)2-2x1·x2 =(- )2-2· = （a2+8a-4）依题设,得 (a2+8a-4)=7 . 解得a=-11或3. 注意到x1,x2为方程的两个实数根,则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0;a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0,故a=3.点评 韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足△≥0这一前提条件. 例2 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m应当满足条件①② 即 由①,得m>2或m<-1, ∴m<-2. (2)m应当满足的条件是 即 ∴-2<m<-1. (3)m应当满足的条件是 即 ∴ ∴m<-1.点评 若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解. 【好题妙解】佳题新题品味 例 已知△ABC的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值. 解析 依题设,有 a+c=2b, ① a2+b2+c2=84. ② ②可变为(a+c)+2-2ac=84-b2, ③ ①代入③,得 ac= , ④ ∴a、c是关于x的一元二次方程x2-2bx+ =0的两个不相等的正实数根. 即16<b2<28. 又b为正整数,故b=5.点评 韦达定理的逆定理是:如果x1,x­2满足x1+x2=- ，x1·x2= ,那么x1·x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84转变为ac= ,从而构造韦达定理逆定理所需的条件. 中考真题欣赏 例1 (2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以 ， 为根的一元二次方程. 解析 ∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △=(4b)2-4×4×7b=0, 即b2-7b=0. ∴b1=0,b2=7. 当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解. 当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=4,y2=1. 则 + =3， · =2 ∴ 以 ， 为根的一元二次方程为y2-3y+2=0.点评 本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视. 例2 (2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由. 解析 ∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根, ∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0, ∴m≤ . 又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根. ∴x1+x2=-(m-1),x1·x2= m2 假设x1,x2同号,则有两种可能: ①若x1>0,x2>0,则 即 ∴m<1且m≠0,此时,m≤ 且m≠0; ②若x1<0,x2<0则有 即 而m≤ 时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m的取值范围为m≤ 且m≠0时,方程的两实根同号.点评 存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,反之则存在. 全能训练A卷1.已知方程x2+3x+m=0的两根之差为5,求m的值. 2.已知x1,x2是方程3x2-mx-2=0的两个根,且 + =3,求 的值. 3.已知方程x2-4x+2-k2=0,且k≠0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根大于1,另一根小于1. 4.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多1. 5.关于x的方程x2-4nx-3n-1=0 ①,x2-(2n+3)x-8n2+2=0 ②,若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根,求n的值. 6.若a2+11a+16=0,b2+11b+16=0,求 - . A卷答案1.-42.-12 ∵x1、x2为方程3x2-mx-2=0的两根,∴x1+x2= ,x1·x2=- 而 + =3,∴m=-6. 因此x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[(x=1+x2)2-3x1x2]=-12.3.(1)∵△=(-4)2-4(2-k2)=4k2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根; (2)(x1-1)(x2-1)=x1·x2(x1+x2)+1=2-k2-4+1=-k2-1<0, ∴x1-1,x2-1中必有一个正数,一个负数. 即x1,x2中必有一个大于1,另一个小于1.4.9y2-40y+40=0. 设方程3x2+2x-3=0的根为x1,x2,所求方程的根为y1,y2,而x1+x2=- ,x1·x2=-1, ∴y1+y2=(x12+1)+(x22+1) =(x1+x2)2-2x1x2+2 =(- )2-2×(-1)+2= y1·y2=(x12+1)(x22+1) =(x1·x2)2+(x12+x22)+1=(x1·x2)+(x1+x2)2-2x1x2+1= ∴所求方程为y2- y+ =0,即9y2-40y+40=0.5.0.提示:设方程①的两根为x1,x2,则x1+x2=4n,x1·x2=-3n-1. ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(4n)2-2(-3n-1) =16n2+6n+2. 解方程②得x1=4n+2,x2=1-2n.(1)当16n2+6n+2=4n+2时,n1=0,n2=- , 把n1=0,代入x1=4n+2,得x1=2;把n2=- 代入x1=4n+2,得x1= 不是整数,∴n=- 舍去;(2)当16n2+6n+2=1-2n时,n1=n2=- .把n=- 代入x2=1-2n,得x2= 不是整数,∴n=- 舍去. 当n=0时,方程①的△1=4>0, ∴n的值为0. 6.0或 . (1)当a=b时, - =1-1=0;(2)当a≠b时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根，从而有 原式＝ = (b-a)=± =± =± .B卷1.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求 +3β2的值. 2.已知两数之积ab≠1,且2a2+12234 567 890a+3=0,3b2+1234 567 890b+2=0,求 . 3.已知x1,x2是方程x2-2(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两实根,求 的最小值. 4.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,求实数m的取值范围. 5.若方程(x2-1)(x2-4)=k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k值. 6.已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值. B卷答案1. (403-85 ).由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17,又α>β,故α-β= . 令A= +3β2,B= +3α2,则A+B= + +3(α2+β2) = +3(α2+β2)= +3×33= , ①A- B== - +3β2 -3α2= +3(β-α)(β+α)=(β-α)[ +3(β+α)]=- ( +3×7)=- . ② ①,②两式相加,得A= (403-85 ).2. .设1 234 567 890=m,则有2a2+ma+3=0,3b2+mb+2=0,即2( )2+m· +3=0 ,又a≠ , 故a与 是二次方程2x2+mx+3=0的两个不等实根,故 =a· = .3. .由韦达定理得,x1+x2=2(k-2),x1·x2=k2+3k+5.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-2)2-2(k2+3k+5)=2(k- )2- 又△=4(k-2)2-4(k2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤- ,故只有k=- 时,x12+x22取最小值为 .4. <m≤1.由已知x1=1,设另两根为x2,x3且x2≤x3,x2+x3=2,x2·x3=m.又x1>x3-x2即1> = = ,解得m> . 又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴ <m≤1.5. . 设x2=y,原方程变为y2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) ,则原方程的四个实根为± ,± ,②③由于它们在数轴上等距排列, - = -(- ) 即β=9α,①又 由此求得k= 且满足△=25+k-16>0.6.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,∴a、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根,即为方程x2+(c+d)x+cd-1=0的两个实根,∴a+b=-(c+d),ab=cd-1. ∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2 =(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.毛 ∴ <m≤1.5. . 设x2=y,原方程变为y2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) ,则原方程的四个实根为± ,± ,②③由于它们在数轴上等距排列, - = -(- ) 即β=9α,①又 由此求得k= 且满足△=25+k-16>0.6.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,∴a、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根,即为方程x2+(c+d)x+cd-1=0的两个实根,∴a+b=-(c+d),ab=cd-1. ∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2 =(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.毛

Answer 3

二楼正解，补充：主要用于判断根的存在性以及求各项系数。

Answer 4

就是勾股定理，主要用于求三角形！