Question

已知正方形ABCD,p为对角线AC上任意一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F，求证DP垂直EF

详细解答

Answer 1

此题可以用向量的方法来证：
以正方形的顶点B为坐标原点，AB所在直线为正Y轴，BC所在方向为正X轴，构造坐标系
设点P（x,y）
则E（0，y），F（x,0）
D(1,1) 假设正方形的边长为单位“1”
点P在对角线AC上，满足直线AC的方程式：y=-x+1
向量EF=（x,-y）
向量PD=（1-x,1-y）
向量EF*向量PD=x(1-x)-y(1-y)
将y=-x+1代入，x(1-x)-y(1-y)=0
所以DP⊥EF

Answer 2

延长AP交EF于Q
则∠FPQ=∠APG
而由△APG≌△FEP知:∠PFQ=∠GAP
所以,∠PQF=180-(∠FPQ+∠PFQ)
=180-(∠APG+∠GAP)
=∠AGQ
=90
所以:AP⊥EF