在四边形ABCD中,AD平行BC,角BAC=角D,点E,F分别在BC,CD上,且角AEF=角ACD,AB=BC,则AE与EF之间的... 40
在四边形ABCD中,AD平行BC,角BAC=角D,点E,F分别在BC,CD上,且角AEF=角ACD,AB=BC,则AE与EF之间的数量关系是什么?(写过程喔)...
在四边形ABCD中,AD平行BC,角BAC=角D,点E,F分别在BC,CD上,且角AEF=角ACD,AB=BC,则AE与EF之间的数量关系是什么?(写过程喔)
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解:(1)AE=EF;
证明:如图:过点E作EH‖AB交AC于点H.
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC.
∵AD‖BC,∴∠FCE=180°-∠B=120°,
又∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(2)猜想:(1)中的结论是没有发生变化.
证明:如图:过点E作EH‖AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:(1)中的结论发生变化.
证明:过点E作EH‖AB交AC于点H.
由(2)可得∠EAC=∠EFC,
∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC,
∵EH‖AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH:EC=AB:BC=k,
∴AE:EF=k,
∴AE=kEF.
证明:如图:过点E作EH‖AB交AC于点H.
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC.
∵AD‖BC,∴∠FCE=180°-∠B=120°,
又∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(2)猜想:(1)中的结论是没有发生变化.
证明:如图:过点E作EH‖AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:(1)中的结论发生变化.
证明:过点E作EH‖AB交AC于点H.
由(2)可得∠EAC=∠EFC,
∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC,
∵EH‖AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH:EC=AB:BC=k,
∴AE:EF=k,
∴AE=kEF.
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解:(1)AE与EF之间的数量关系为AE=EF;
(2)猜想:(1)中得到的结论没有发生变化,如图,
过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠1=180°,∠BAC=∠2,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠3,
∴∠2=∠3,
∴EH=EC,
∵AD∥BC,
∴∠D+∠DCB=180°,
∵∠BAC=∠D,
∴∠1=∠DCB=∠ECF,
∵∠4=∠5,∠AEF=∠ACF,
∴∠6=∠7,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:AE=kEF,如图,
过点E作EH∥AB,交AC于点H,则△HEC∽△ABC,
∴HE:AB=EC:BC,
∴HE:EC=AB:BC=k
同(2)可证∠AHE=∠FCE,∠EAH=∠CFE,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC=k,即AE=kEF。
(2)猜想:(1)中得到的结论没有发生变化,如图,
过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠1=180°,∠BAC=∠2,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠3,
∴∠2=∠3,
∴EH=EC,
∵AD∥BC,
∴∠D+∠DCB=180°,
∵∠BAC=∠D,
∴∠1=∠DCB=∠ECF,
∵∠4=∠5,∠AEF=∠ACF,
∴∠6=∠7,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:AE=kEF,如图,
过点E作EH∥AB,交AC于点H,则△HEC∽△ABC,
∴HE:AB=EC:BC,
∴HE:EC=AB:BC=k
同(2)可证∠AHE=∠FCE,∠EAH=∠CFE,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC=k,即AE=kEF。
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由条件平行四边形,角BAC=角D,AB=BC,可知三角形abc和acd为等边三角形,
角AEF=角ACD,可知e,f是在bc,cd的端点上,所以AE=EF
角AEF=角ACD,可知e,f是在bc,cd的端点上,所以AE=EF
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