Question

已知函数y=f(x)对任意x,y属于R,都有f(x)+f(y)=f(x+y)

(1)证明：f(x)是奇函数
（2）若f(-3)=a,试用a表示f(12)
大家快点帮帮我吧，谢谢了啊

Answer 1

解
对任意x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(x+y)
令x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0+0)
∴f(0)=0
令x=x，y=-x
则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)
∴f(x)是奇函数

f(-3)=-f(3)=a
∴f(3)=-a
∴f(12)=f(6)+f(6)
又f(6)=f(3)+f(3)=-2a
∴f(12)=-2a-2a=-4a

Answer 2

（1）
令x=y=0,
f(0)+f(0)=f(0) ==> f(0)=0
再令y=-x
f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
所以f(x)+f(-x)=0 ==> f(x)是奇函数。

（2）
由第一问知,令x=3, 则f(3)+f(-3)=0 ==> f(3)=-f(-3)
令y=x
f(x)+f(x)=f(x+x)=f(2x) ==> f(2x)=2f(x)
所以
f(12)=2f(6)=2*2f(3)=4f(3)=4*(-f(-3))=-4a

Answer 3

第一问设x=0,y=0带入。解得f0=0即为奇函数
第二问f12=-4a