Question

在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,则此三角形的形状是

A.直角三角形 B.正三角形 C.腰和底边不等的等腰三角形 D.等腰直角三角形

Answer 1

（a+b+c)(b+c-a)=3bc
a²=b²+c²-bc
2cosA=1
∴A=60°
sinA=2sinBcosC,
sin(120°-C)sin(90°-C)=√3/4
[cos30°-cos(210°-2C)]/2=√3/4
cos(210°-2C)=0
210°-2C=90°
∴C=60°
因此，是正三角形。选B

追问

sinA=2sinBcosC 以后的 就有点看不懂 。

追答

sinA=2sinBcosC,
∵A=60°
∴sinA=√3/2,B=120°-C
√3/2=2sin(120°-C)sin(90°-C)
sin(120°-C)sin(90°-C)=√3/4
由积化和差公式得：
[cos30°-cos(210°-2C)]/2=√3/4
cos(210°-2C)=0
210°-2C=90°
∴C=60°
因此，是正三角形。选B