已知不等式x²-loga x<0,当x∈(0,1/2)时恒成立,求实数a的取值范围

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HHHHHHH061
2013-07-18 · TA获得超过1.3万个赞
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解答如下:
x² - logax < 0
所以x² < logax
在x∈(0,1/2)时恒成立
所以x²的最大值小于logax的最小值
所以 x² < 1/4 ≤ logax
当a > 1时,logax为递增
但最小值为负数不成立
当0 < a < 1时,logax为递减
最小值在x = 1/2上取到(但x取不到1/2)
所以loga 1/2 ≥ 1/4 = log1/16 1/2
所以0 < a ≤ 1/16
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不好意思,刚刚疏忽了!
将这个不等式转化为:
x²<log(a)[x],其中x∈(0,1/2)
注意到函数f(x)=x²在区间(0,1/2)上的图像,则:
要使得x²<log(a)[x],则:
0<a<1 -------------------------------------------------------(1)
另外,利用函数f(x)=x²及g(x)=log(a)[x]的单调性,还必须:
f(1/2)≤g(1/2)
(1/2)²≤log(a)[1/2]
1/4≤log(a)[1/2] 【注意0<a<1】
则:
a≥1/16 ------------------------------------------------------(2)
根据(1)、(2),得:1/16≤a<1
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lzd5856292
2013-07-20 · TA获得超过114个赞
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大啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
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