Question

一道高一数学题：(急）

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,满足f(1)=1,且f(-1)=0.(1).用a,x表示f(x).(2).若对于任意实数x都有f(x)≥x，求a,c的值.(3).在(2)的条件下，设函数g(x)=f(x)-mx(x属于R），求m的取值范围，使得g(x)在区间[-1，1]上是单调增函数.

Answer 1

(1)
f(x)=ax²+bx+c;

f(1)=1,f(-1)=0.

so: f(1)=a+b+c=1;f(-1)=a-b+c=0;
hence, f(1)+f(-1)=2(a+c)=1; f(1)-f(-1)=2b=1
therefore, b=1/2, c=1/2-a
f(x)=ax²+ 1/2 x+ 1/2-a;
(2)
若对于任意实数x都有f(x)≥x;

h(x)=f(x)-x = ax² - 1/2 x+ 1/2-a≥0对于任意实数x成立。
delta=1/4-4a(1/2-a)=4a^2 -2a+ 1/4=(2a-1/2)^2
a>0且delta<=0,
a>0 and(2a-1/2)^2 <=0,
a= 1/4.
(3)
f(x)=ax²+ 1/2 x+ 1/2-a (a=1/4)
= 1/4 x²+ 1/2 x+ 1/4
= 1/4 (x+1)^2
g(x)=f(x)-mx(x属于R）

=1/4 (x+1)^2 -mx
在区间[-1，1]上 dg/dx = 1/2 (x+1) - m >0 时g(x)在区间[-1，1]上是单调增函数.

1/2 (x+1)> m
-1<=x<=1
0<=x+1<=2
0<=1/2 (x+1)<=1
m<0.

追问

请你看看下面那位十一级网友的解答，为什么最后一问答案不一？

Answer 2

解：①依题设，得 a+b+c=1，a-b+c=0 ∴ b=1/2,c=1/2-a f(x)=ax²+x/2+1/2-a
②依题设，得 ax²-x/2+1/2-a≥0对于任意实数x都成立 ∴ (-1/2)²-4a(1/2-a)≤0，a＞0
则 a=1/4 c=1/4
③g(x)=f(x)-mx=x²/4+(1/2-m)x+1/4在区间[-1，1]上是单调增函数.，则
2(m-1/2)≤-1或2(m-1/2)≥1 故 m≤0或m≥1

追问

请你看看上面那位十一级网友的解答，为什么最后一问答案不一？

追答

不好意思，弄错了， 应该只有2(m-1/2)≤-1

Answer 3

将两个带入求得abc的关系，bc 用a表示，b=0.5,y=ax^2+1/2 x+1/2-a,
第二个做差，求△≤0，a大于零
第三个找对称轴，上一个问开口向上，只要对称轴-1的左侧就行了

Answer 4

(1)

由 f(1)=1得，a+b+c=1.................1式
由 f(-1)=0得，a-b+c=0................2式

由1式和2式上下相加得，2a+2c=1， c=1/2-a, b=a+c=a + 1/2 - a = 1/2
所以f(x)= a x2 + 1/2 x + 1/2 -a

Answer 5

1.b＝1/2,c＝（1-2a）/2
2.a＝b＝1/4
3.m≦0,求导数，导数恒大于等于零，

Answer 6

第一问只是简单的代入：a+b+c=1 a-b+c=0 故b=1/2 c=1/2
第二问f(x)≥x，即f(x)-x≥0 ax²-1/2x+1/2-a≥0 所以a>0，△≥0 解得（4a-1)^2<=0 a=1/4
最后一问只需保证对称轴小等于负一即可，得m<=0

追问

你真厉害，第一问竟然求出了c的值。。。

追答

sorry,打错了，c=1/2-a