Question

二次函数的解释式有哪些？对称轴有哪些？顶点坐标怎么求？

如题，谢谢..

Answer 1

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
　　顶点式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)
　　交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
　　重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
　　可简单记忆为左同右异即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于（0，c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ= b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　_______
　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
　　7.特殊值的形式
　　①当x=１时 y=a+b+c
　　②当x=-1时 y=a-b+c
　　③当x=2时 y=4a+2b+c
　　④当x=-2时 y=4a-2b+c
　　8.定义域：R
　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
　　奇偶性：偶函数
　　周期性：无
　　解析式：
　　①y=ax^2+bx+c[一般式]
　　⑴a≠0
　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
　　⑷Δ=b^2-4ac,
　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：
　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：
　　（-b/2a，0）；
　　Δ＜0，图象与x轴无交点；
　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]
　　a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

Answer 2

你只要记住下面这些：
　1　一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
　2 顶点式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k
　　3 交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

Answer 3

y=ax方+bx+cy=a(x+b)(x+c)y=a(x-h)方+k x=-b/2a 一般式(b/2a,4ac-b方/4a)顶点式（h,k）