Question

一道线性代数关于二次型的题目

如图所示，为什么是(P^-1)AP，为什么使用逆矩阵乘？如何推导出来的

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Answer 1

这题涉及知识点很多
首先，你要知道什么是二次型，二次型就是一个横着写的矩阵，你要明白每个变量的系数就是矩阵的中的数。你可以查书了解下每个系数的位置

其次，你要明白所谓的二次型标准化，就是把那个二次型矩阵相似对角化！！

再次，你要了解什么是相似阵，什么是特征值特征向量。什么是相似？相似就是AP=PB，A和B就相似。就这个题，简答来说，一个矩阵最简单的相似阵就是把每个特征值摆成对角阵，即
AP = Pdiag(λ1,...,λn)，知道P^-1咋来的了吧？而那个P就是特征向量按照对应特征值的顺序摆放而成的方阵！

最后，就是你要清楚这个题的整体思路，就是利用二次型标准化去求矩阵的特征值，然后利用特征值特征向量去求矩阵。这题属于二次型的基本概念题，你了解二次型是什么之后这题完全没难度，完全不涉及矩阵本身的单位化

Answer 2

你看看教材中有个定理: A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
它的证明过程即可说明为什么有 P^-1AP = diag(λ1,...,λn)

追问

p是不是要正交化和规范化？

追答

都可. 都有 P^-1AP = diag(...)
若正交化单位化, 则 P^-1 = P^T, 不用求 P^-1 了