Question

设函数f(x)=a(x-1/x) lnx .g(x)=e/x，若在[l，e]上至少存在一点使f(x0)>=g(x0)成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

f(x)=a(x-1/x)-lnx吧？
∵g(x)=e／x在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]
f'（x）=(ax2-x+a）／x2
令h（x）=ax2-x+a
当a≥1／2时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1
又g(x)=e／x在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]
而f（x）max=f（e）=a(e-1／e) -lne，g（x）min=1，即f(x）max=a(e-1/e) -lne≥1
解得a≥2e/(e2-1)

∴实数a的取值范围是[2e/(e2-1)，+∞）

追问

为什么不能用(f（x）>=g(x))max>0

追答

因为题目中是"至少存在一点使得f(x)>=g(x),"是"存在性的命题"，故只有是f(x)max>=g(x)min.

追问

但两个函数中的x不是一体的吗 可以独立开来吗

追答

二个函数中的X可以取不同的值

追问

可以吗为什么不是都是x0吗

追答

f(x)取得最大值的X值与g(x)取得最小值时的X值是不同的

Answer 2

追问

为什么不能用(f（x）>=g(x))max>0