Question

数学史上的未解之谜

只是想问问:变分学的欧拉方程是什么? 立体解析几何的欧拉变换公式是什么?

Answer 1

欧拉方程Euler’s equation　　对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微
　　分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本
　　方程,应用十分广泛。1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流
　　体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。
　　在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：
　　（ax^2D^2+bxD+c）y=f(x),
　　其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。
　　例如：(x^2D^2-xD+1)y=0,(x^2D^2-2xD+2)y=2x^3-x等都是欧拉方程。
　　化学中足球烯即C-60和此方程有关
　　证明过程：
　　利用级数。
　　exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!＋(x^4)/4!+……
　　sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!＋……
　　cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!＋……
　　其中exp(x)=e^x
　　于是exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!＋i(x^5)/5!＋……
　　比较以上3式，就得出欧拉公式了 [编辑本段]泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)　　(二)、泛函的欧拉方程
　　欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
　　（1） 最简单的欧拉方程：
　　设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如
　　
　　的变分，若其满足以下条件：
　　c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
　　则函数y。(x) 满足微分方程：
　　
　　上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
　　（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程
　　一般来说，对于下述泛函：
　　
　　在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：
　　
　　（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
　　对于下述泛函：
　　
　　其欧拉方程组为：
　　
　　（4）多元函数的泛函及其欧拉方程
　　此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：