Question

判定下列级数 的 敛散性。（求助，尽量写下过程，谢谢）

Answer 1

1. 4^(1/n) ≤ 4, 故1/((n+1)·4^(1/n)) ≥ 1/(4n+4) ≥ 1/(8n).
而调和级数∑1/n发散, 根据比较判别法, 可知∑1/((n+1)·4^(1/n))也发散.

2. 设a[n] = (n+1)²n/5^n. 根据D'Alembert比值判别法, 由
a[n+1]/a[n] = ((n+2)²(n+1)/5^(n+1))/((n+1)²n/5^n) = (n+2)²/(n(n+1))·1/5 → 1/5 < 1,
级数∑(n+1)²n/5^n收敛.
而0 < (n+1)²sin(n/5^n) < (n+1)²n/5^n.
于是, 根据比较判别法, 可知∑(n+1)²sin(n/5^n)也收敛.
(其实可直接对原级数用比值判别法, 只是那个极限没这么明显).

3. 这是一个交错级数, 通项绝对值1/n^(2/3)单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法, 级数收敛.
(实际上是条件收敛).