已知定义在区间[0,1]上的两个函数f(x)和g( x),其中f(x)=x2-ax+2
已知定义在区间[0,1]上的两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=x2-ax+2(a≥1),g(x)=x2/x+1.(1)求函数y=f(x)的最小值m(a);(2)若...
已知定义在区间[0,1]上的两个函数f(x)和g( x),其中f(x)=x2-ax+2(a≥1),g(x)= x2/x+1 . (1)求函数y=f(x)的最小值m(a)
;(2)若对任意x1、x2∈[0,1],f(x2)>g(x1 )恒成立,求a的取值范围 展开
;(2)若对任意x1、x2∈[0,1],f(x2)>g(x1 )恒成立,求a的取值范围 展开
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解:(1)当a/2>1时,a>2,f(x)的最小值m(a)=f(1)=1-a+2=3-a
当1/2<=a/2<=1时,1<=a<=2,f(x)的最小值m(a)=f(a/2)=a^2/4-a^2/2+2=2-a^2/4
(2)若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立
即:求g(x1)的最大值<f(x2)的最小值
g(x)=x^2/(x+1)=[(x^2-1)+1]/(x+1)=(x-1)+1/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)-2
0<=x<=1,1<=x+1<=2
g(x1)最大值=g(1)=1/(1+1)=1/2
即:f(x)的最小值>1/2
由(1)知
当a>2时,3-a>1/2,==>a<5/2,故有2<a<5/2
当1<=a<=2时,2-a^2/2>1/2,==>a^2<3,得到1<=a<√3
综上,当1<=a<√3或2<a<5/2时,若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立
当1/2<=a/2<=1时,1<=a<=2,f(x)的最小值m(a)=f(a/2)=a^2/4-a^2/2+2=2-a^2/4
(2)若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立
即:求g(x1)的最大值<f(x2)的最小值
g(x)=x^2/(x+1)=[(x^2-1)+1]/(x+1)=(x-1)+1/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)-2
0<=x<=1,1<=x+1<=2
g(x1)最大值=g(1)=1/(1+1)=1/2
即:f(x)的最小值>1/2
由(1)知
当a>2时,3-a>1/2,==>a<5/2,故有2<a<5/2
当1<=a<=2时,2-a^2/2>1/2,==>a^2<3,得到1<=a<√3
综上,当1<=a<√3或2<a<5/2时,若对任意x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立
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