Question

高一数学，求复合函数参数的取值范围，见题，这样的解法有何错误？

已知函数f(x）=（ax^2+2x-1)/x的定义域恰为log2(x+3)+log(1/2)x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围?

log2(x+3)+log(1/2)x 这里log后面的第一个数是底数

我解出定义域 x≥3/7， 利用复合函数同增异减，可知a小于零，对称轴小于等于3/7，最终求得0＞a≥-7/3
答案 a≤-49/9，是利用单调性来求的
为什么这道题要利用单调性来求而不能用我那个方法求呢？
打错，a＞0，这样求得a≥-7/3 与a>0很矛盾啊

Answer 1

已知函数f(x）=（ax^2+2x-1)/x的定义域恰为log2(x+3)+log(1/2)x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围?

解析：∵log(2,x+3)+log(1/2,x)≤3
log(2,x+3)-log(2,x)≤3
log(2,(x+3)/x) ≤log(2,8)==> (x+3)/x ≤8==>x>=3/7

∵函数f(x)=(ax^2+2x-1)/x，其定义域为x≠0
显然，题目表述存在问题
解此题要按题目所给的条件进行，这不是求函数的单调性，一般情况下不要按复合函数单调性进行，当你对函数性质不十分熟练时，尽量避开复合函数单调性，否则易出错
令f’(x)=(ax^2+1)/x^2=0==>x1=-1/√(-a),x2=1/√(-a)
f’’(x)=-2/x^3==>f”(x1)>0，f”(x2)<0
∴函数f(x)在x1处取极小值；在x2处取极小值；
∵f(x)在定义域内单调递减
∴x2=1/√(-a)>=3/7==>-1/a>=9/49==>a<=-49/9

追问

1、f’(x)=(ax^2+1)/x^2 和 f’’(x)=-2/x^3 从何而来？

2、函数f(x)在x1处取极小值；在x2处取极小值 两个最小值么？怎么是两个？

追答

1、f’(x)=(ax^2+1)/x^2 是函数f(x)的一阶导数和 f’’(x)=-2/x^3 是函数f(x)的二阶导数，导数可能你们还没有学，以后会学

2、函数f(x)在x1处取极小值；在x2处取极大值，输错了

Answer 2

你的定义域求解正确,但f(x)的处理不对,应该对f(x)求导,f'(x)=(ax^2+1)/x^2,因单调递减,f'(x)<0,ax^2+1<0,a<-1/x^2,而x^2>=9/49,所以a<=-49/9.明白了么?

追问

是（ax^2+2x-1)/x，不是(ax^2+1)/x^2。

而且为什么 单调递减,f'(x)<0？