Question

已知△ABC是等边三角形,△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形,AE垂直CD于E,求证 AE=ED

如题，谢谢

Answer 1

证明：连接AD

∵△ABC是等边三角形,   ∴AB=AC

∵△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形           ∴BD=CD

又∵AD=AD

∴△ABD≌△ACD   （SSS）

∴∠1=∠2=45°

∵AE⊥CD   ∴∠E=90°

∴∠DAE=45°

∴△DAE是以AD为斜边的等腰直角三角形

∴AE=DE

 

还有一种情况

 

 

∵△ABC是等边三角形,   ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°

∵△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形           ∴BD=CD，∠4=45°

又∵AD=AD

∴△ABD≌△ACD   （SSS）

∴∠1=∠2=30°

∵AE⊥CD   ∴∠E=90°

∴∠3+∠CAE=90°

∵∠3=∠ACB-∠4=60°-45°=15°

∴∠CAE=75°

∴∠DAE=∠CAE-∠1=75°+30°=45°

∴△DAE是以AD为斜边的等腰直角三角形

∴AE=DE

Answer 2

∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，
∵ΔBCD是等腰直角三角形，∴DB=DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴∠CAD=1/2∠BAC=30°，
∵∠ACE=∠ACB-∠DCB=15°，∠E=90°，
∴∠CAE=75°，
∴∠DAE=75°-30°=45°，
∴ΔADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE。