Question

求面积的最小值

过第一象限点M(p,q)一直线与x、y轴正半轴分别交于A,B两点，求△ABO面积的最小值
哦对不起，写错了，是周长的最小值

Answer 1

设直线方程为：y=kx+b
由于M(p,q)在第一象限且直线与x轴，y轴搜蠢正半轴分别交于A，稿塌B两点
所以q=pk+b,k<0,b>0
x=0,y=b=q-pk>0
B(0,q-pk) ，|OB|=q-pk
y=0,x=-b/k=-(q-pk)/k
A(-(q-pk)/k,0)，|OA|=-(q-pk)/k
所以三角形面积为|OA||OB|/2
S=-(q-pk)(q-pk)/k/2=(-q²+2pqk-p²k²)/2k=-q²/2k+pq-p²k/2
S≥pq+2√(q²p²)/键漏圆4=2pq
所以最小值为2pq

Answer 2

因为与x、y轴均有交点，斜率存带蠢在。不妨设为k（k＜0）
则档仿直线为：y-q=k(x-p)
当y=0时，x=p-(q/k)
当x=0时，y=q-kp
所以，△ABO的面积=(1/2)*[p-(q/k)]*(q-kp)
=(1/2)*[pq-kp^2-(q^2/k)+pq]
=(1/2)*[2pq+(-kp^2-q^2/k)]
≥(1/行行纤2)*[2pq+2√(-kp^2*q^2/k)]
=(1/2)*[2pq+2pq]
=2pq
即，△AOB面积最小值为2pq

Answer 3

参数法野轮：
直线方游纯程为
x=P+t*cosα
y=Q+t*sinα
可得|PB|＝|P/cosα|, |PA|＝|Q/sinα|
△ABO面积=|PA||PB|/2=|(P/cosα)*(Q/sinα)|/2
=|PQ/(cosα*sinα)|/2
=|2PQ/sin2α|/2
=|PQ/sin2α|

当sin2α=1时最小,最小为PQ

补颂磨信充知识点：这道题用到倍角公式sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa