Question

设函数f(x)=1-x+a㏑x﹙x∈R﹚,(1）当a=1,求f﹙x﹚的最大值

﹙2﹚若x≥1，f﹙x﹚≤0，求a的取值范围

Answer 1

答：
（1）f(x)=1-x+alnx，x>0
a=1时，f(x)=1-x+lnx
求导：f'(x)=-1+1/x
解f'(x)=-1+1/x=0得：x=1
当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)是增函数
当x>1时，f'(x)<0，f(x)是减函数
所以：x=1时，f(x)取得最大值f(1)=1-1+0=0
所以：f(x)的最大值为0

（2）x>=1，f(x)=1-x+alnx<=0
求导：f'(x)=-1+a/x
当a<=1时，f'(x)<0，f(x)是减函数
f(x)<=f(1)=1-1+0=0恒成立
当a>1时，解f'(x)=-1+a/x=0得：x=a>1
1<=x<a时，f'(x)>0，f(x)是增函数
x>a>1时，f'(x)<0，f(x)是减函数
所以：x=a时f(x)取得最大值f(a)=1-a+alna<=0
对a求导：f'(a)=-1+lna+1=lna>0
f(a)在a>1时是增函数
所以：f(a)>=f(1)=1-1+1*ln1=0
所以：f(a)=1-a+alna<=0在a>1时不成立
综上所述，a<=1时，f(x)<=0在x>=1时恒成立

Answer 2

第一问直接求导得-1+1/x，当x=1时导数为0，二次求导得-1/(x^2)小于0，所以x=1时最大值为0
第二问求导后导数-1+a/x，因为x>=1，所以当a<1时导数恒小于0，即函数递减，f1=0，之后均小于0
由第一问a=0时函数最大值也为0
当a>1时，导数不恒递减，当x=a时达到最大值，x<a时函数递增，而f1=0，所以f(x)不恒小于0
于是a<=1