Question

数论习题求解！！！急！！！

1、求证形如4K-1的正整数必有相同形式的质因数。
2、求证：当n>1时，1+1/2+1/3......+1/n不是整数

Answer 1

1.用反证法,假设不存在4k-1型的质因数.

对4k-1进行质因数分解4k-1是奇数,由于大于2的素数都是奇数,因此所有素因子必然都是4s+1型的.
那么：
4k-1=(4s1+1)^t1*(4s2+1)^t2*....*(4sm+1)^tm
把后面的式子与前面的式子同时mod 4得：
-1= 1 mod 4
矛盾，因此必然存在，更一般的，4s-1型的素因子的个数还必然是奇数个。
2.对整个式子通分,记为A/B，如果是整数，那么A/B是整数，即B|A。
B=n!而对于任意一个i,2<=i<=n,A!=0 mod i
因此A不整除B，即不是整数。1+1/3+1/5+....+1/(2n+1)也可以用上面的做法来证明不是整数。

追问

感谢大神解疑，第一题没问题了，但是我还是不太清楚第二题如何从“对于任意一个i,2<=i<=n,A!=0 mod i”推导至“A不整除B”（还是打错了？应该是“B不整除A”，及时如此还是不懂）？

追答

第二问我的说法有错，现在我重新写一下证明：
A=n!+n!/2+...+n!/i+.+n!/n
只要找到一个数i使得i!|A即可.其中i是n!的一个因子.
我们可以令s=2^k,sn。
令a(2,n)为n!里素因子2的个数,
那么n!,n!/2,n!/2^2....n!/2^k都是整数,它们的素因子2的个数分别是:
a(2,n),a(2,n)-1....a(2,n)-k。
令i=2^(a(2,n)-k+1),此时对任何小于k的j，均有：
i|n!/2^j,而i!|n!/2^k,由s的最大幂次可知，满足i!|n!/j的项数唯一．
所以除这项之外，其他项都能整除i.这样就说明了n!内存在因子i，使得A/i不是整数．
所以A/B不是整数。类似的
1+1/3+1/5+1/7+....+1./(2n+1)
则考虑3的幂次．
其实还有更快的办法．要用Bertand假设(已证)：在[n/2,n]的整数里，必定有一个素数．
那么此时你取i=p,n!里面素因子p的个数只有一个，因此除了
p!|n!/p,其他项都能被整除．

追问

好像大致明白了，不知“i!|n!/2^k”表达的是否为“i不整除n!/2^k”而不是“i!整除n!/2^k”？

追答

嗯,是这个意思。这里面证明很有技巧。。。