Question

如图，在RT三角形ABC中，C,D是斜边AB上的高，∠CAB的平分线交CD于E，交CB于F，过点F作FG垂直AB，垂足为G

连接GE
求证：四边形CEGF是菱形。

Answer 1

证明： ∵AF平分∠CAB,FC⊥AC,FG⊥AB
∴CF=FG
∵∠ACB=90°，∠FGA=90°且AF平分∠CAB
∴∠CFA=∠AFG
∵∠FGB=∠CDB=90°
∴FG∥CD
∴∠GFE=∠CEF
∴∠CFE=∠CEF
∴CE=CF
∴CE=CF=FG=EG
∴四边形CEGF是菱形

Answer 2

证明
延长GE，交AC于H
∵AC平分角CAB，CF⊥AC,FG⊥AB
∴FG=FC
∴AC=AG
∴△AEC全等于△AEG
∴CE=EG
∴△EHC全等于△EDG
∴EH=ED
∴△ADE全等于△AHE
∴∠AHE=∠ADE=90
∴HG∥BC
∵EC∥FG
∴四边形ECFG是平行四边形
∵CE=EG
∴ECFG是菱形