Question

已知函数g（x）＝1／3axˇ3＋2xˇ2－2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数

当a∈（0，+∞）时，若存在一个与a相关的负数M，使得对任意x∈[M,0]时，-4≤f(x)≤4恒成立，求M得最小值及相应的a值

Answer 1

f(x)=ax^2+4x-2.

要使m最小，即那个使|f(x)|=4的x1最小，越远离原点的负值。
画出f(x)的图形。对称轴为x=-2/a；在x=0处，取值f(x)=-2；
在x∈[m,0]能使成立得x只有两处，对称轴和x1处。
1, 如果x=-2/a对称轴处，|f(x)|>4,
即4/a+2>4，a<2时，那m只能为-2/a对称轴。
2, 所以，只有在对称轴处|f(x)|<=4，才能使=x1最小，最远离原点。
|f(x)|<=4，a>=2

现在求x1，二次方程求根，去负值，（不好打出来，x1表达式就略过了），
x1最小，相当于求（2+3a）/（a*a）最大值，
此时，a>=2，当a=2时上式取的最大值，
求的x1=-3
m=x1=-3

Answer 2

先求导函数，求出导函数为
f（x）＝axˇ2＋4x-2
因为此函数的图像为抛物线，而且抛物线的横过（0，-2）且对称轴衡小于0.所以当最低点的纵坐标恰好为-4时候，m最小。所以（4ac-b2）/4a=-4.所以a=2，m=-3