Question

数学问题：等腰三角形的三条边分别为a、b、c,其中a=b=6,该三角形的内切圆半径为0.5，求底边c的长。

如标题所述。

Answer 1

根据题目的描述，根据三角形相似性列出一个等式 0.5 / (c/2) = (6-c/2)  / (36-c*c/4)

最后得到方程式 c^3 - 12c^2 + c + 12 = 0 (其中c=12的解踢出去了，c=12不能形成三角形）

这个方程解不好求解，它有（2,3）（11,12）之间的两个根和一个负数根，两个正跟正是所要求的

根据三次方程根公式

A = 141 B = -120 C = 433

你可以想象一下结果的恶心程度

编程求近似的值可能还好看点

追问

等式有点问题，应该是 0.5 / (c/2) = (6-c/2) / (36-c*c/4)^0.5，是吧。我最后化简得到的是一个一元四次方程，和你算的不太一样噢。你看下是哪里的问题？

追答

那你得到什么方程，你看看12是不是它的一个解，是把它变成3次方程，看看是什么方程式了

追问

噢，找到了，得到这个4*x^4-48*x^3+145*x^2-36=0，12是它的一个解啊。我把顶角设成2θ，得到这个方程，1/sinθ+1=12cosθ。看下这个好解不？好解的话我就附上图了。

追答

理论上没算错的话，哪个方程式最终都会走向一致，如果解真的是上面那种，那么就没什么好犹豫的，写出那两个复杂的结果就over了，当你不能责怪出题的人没有给你凑好数据时，就只能相信自己的计算了。

Answer 2

∵△ABC为等腰三角形（AC=BC），I为三角形的内心

∴CD⊥AB，D为AB 中点

∴AD=c/2

在Rt△ACD中

（x+0.5）²+（c/2）²=6²

∵AE=AD=c/2

∴CE=6-c/2

在Rt△CIE中

(6-c/2)²+0.5²=x²

解这个关于x和c的二元二次方程组，即可求得c，但有点繁琐

追问

楼上回答得很有条理，只是这个二元二次方程组的算法，害惨我了，消去一个未知数，最后化成一个一元四次方程，头大，不会算哪，有没有简捷的算法啊。最后，希望能给出个尽量精确的结果来。

追答

我也想算出结果，只是这个方程实在难解，要是编程或用试差法可以计算近似结果回

Answer 3

没有唯一的解。
1＜ c ＜12
☆其实这个问题完全可以从几何角度来得出结论：
两条腰和一条底边都与一个圆相切，其中腰长是定长，而底边是变量，它们得到的顶角是随着它们的位置确定而确定，在这种情况下，顶角就是变量，当它小时，底边就小，当大时，底边也就大，但底边不能太大，要小于两腰长的和，也就是小于6＋6=12。由于内切圆半径已知= 0.5，直径就是等于1，所以底边就不能小于1。
故它的变化范围是1＜ c ＜12。
也就是说，底边长不可能有确定的解，随着顶角的变化底边也在变化，怎么可能有两解、三解呢？

追问

内切圆的给出不仅仅是确定底边长的范围，我作出了这样一个图。顶角在变化的同时，这个三角形还要符合内切圆的半径为0.5，这样就限制了顶角的可能。

追答

当底边等于 1 ，即等于内切圆半径时，此时两腰平行，显然成不了三角形；当逐渐大于 1 后，两腰就有了交角（即顶角），此时内切圆因为是定圆，它的大小不会因为两腰位置的变化而改变，正因为如此，三条边都要和这个圆相切，而顶角随着两腰位置的改变也不断的在改变，相应的也改变了底边的长。
而在这些改变的过程中，请注意，只改变哪些元素呢？——顶角、底边长，而自始至终没有改变腰长和内切圆半径，所以限定了底边的长，而它不能大于两腰长的和，所以它只能在 1 到12之间这样数值范围内才能作出符合题意的图。否则，那只能是行之无效的画饼充饥也！