Question

已知数列{an}及fn(x)=a1x+a2x²+…+anx^n,fn(-1)=[(-1)^n]*n

若[（1/2)^n]an≤(m/4)²+(3m/2)-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

设b[n]=(-1)^n*a[n],T[n]是{b[n]}的前n项和。 [ ]内是下标
由已知得 T[n]=fn(-1)=(-1)^n*n 可求得 b[n]=(-1)^n*(2n-1)
所以 a[n]=2n-1
设c[n]=(1/2)^n*a[n]=(1/2)^n*(2n-1) 则c[n]>0
c[1]=1/2,c{2]=3/4 即c[2]>c[1]
当n>1时 c[n+1]/c[n]=...=(2n+1)/(2n+(2n-2))<(2n+1)/(2n+1)=1 即 c[n+1]<c[n]
所以 c[2]=3/4 是{c[n]}的最大值
m可取的充要条件是 3/4≤(m/4)²+(3m/2)-1 解得 m≤-2(√43)-12 或 m≥2(√43)-12

所以实数m的取值范围是 m≤-2(√43)-12 或 m≥2(√43)-12
希望对你有点帮助！

追问

3/4≤(m/4)²+(3m/2)-1 解得 m≤-2(√43)-12 或 m≥2(√43)-12 这步是否计算错误？？

追答

经验算，无误。