Question

已知函f(x)=1∕3x³+x²-2,⑴设｛an｝是正数组成的数列，前N项和为Sn，其中a1=3，若点（an，an+1&

已知函数f(x)=1/3x³+x²-2, ⑴设｛an｝是正数组成的数列，前N项和为Sn，其中a1=3，若点（an，an+1²-2an+1），（n∈N*），在函数y=f′(x)的图像上，求证：点（n，Sn）也在图像上 (2).求函数f(x)在区间(a-1,a)的极值

Answer 1

f(x)=1/3x^3+x^2-2，则：
f'(x)=x^2+2x，
点(an,an+1^2-2an+1)在函数y=f′(x)的图像上，
所以an^2+2an=an+1^2-2an+1，
an+2^2-an^2=2an+1-2an，
因为｛an｝是正数组成的数列，
所以an+1+an不=0，
所以an+1-an=2，
所以｛an｝是公差为：d=2，的等差数列。
所以Sn=na1+d*n(n-1)/2=n^2+2n，
所以点（n，Sn）也在函数y=f′(x)图像上。

f'(x)=x^2+2x=x(x+2)，
令f'(x)=0，则：
x=0， x=-2。
x<-2时， f'(x)>0；
-2<x<0时， f'(x)<0；
x>0时， f'(x)>0。
所以函数f(x)在(-无穷，-2)单调递增，在(-2，0)单调递减，在(0，+无穷)单调递增，
当a-1<-2<a，即 -2<a<-1 时，函数f(x)在区间(a-1,a)有极大值： f(-2)=-2/3；
当a-1<0<a ，即 0<a<1时， 函数f(x)在区间(a-1,a)有极小值： f(0)=-2。