Question

如图在圆O中,AB,CD是两弦,且AB>CD,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F。求证OE<OF

Answer 1

证明：
∵OE⊥AB
∴AE＝AB/2
∴OE²＝OA²-AE²
∵OF⊥CD
∴CF＝CD/2
∴OF²＝OC²-CF²
∴OE²-OF²＝OA²-AE²-OC²+CF²＝CF²-AE²＝（CD/2）²-（AB/2）²
∵AB＞CD
∴（CD/2）²-（AB/2）²＜0
∴OE²-OF²＜0
∴OE＜OF

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Answer 2

在直角三角形AOE与直角三角形DOF中，斜边OA与OD相等（都是圆的半径R），方法一：用勾股定理，OE²＝R²－AE², OF²＝R²－DF², 被减数相等，减数越大，差就越小。证完。

方法二，用圆弧来说，圆周角等等知识。（略）。

（注意，点A与C不是必须画到一条直径的两个端点）。