Question

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+1)^2+y^2=1,圆C2:(x-3)^2+(y-4)^2=1.

（1）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为6/5，求直线l的方程；
（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
PS.第一小题我会求 拜托大神帮忙解答第二小题 谢谢！

Answer 1

（2）①设动圆C与圆C₁交于A₁、B₁，与圆C₂交于A₂、B₂。
∵A₁B₁A₂B₂平分周长
∴直线A₁B₁、A₂B₂分别为C₁、C₂的直径。
∴A₁C₁=B₁C₁=1，A₂C₂=B₂C₂=1。
又∵A₁C=B₁C=A₂C=B₂C=R。（R为C的半径）
∴△A₁B₁C、△A₂B₂C为等腰△。
∴A₁B₁⊥C₁C，A₂B₂⊥C₂C。
又∵A₁C₁=B₁C₁=1，A₂C₂=B₂C₂=1
∴C₁C=C₂C=√（R²-1）。
∴点C在线段C₁C₂的中垂线上。
k（C₁C₂）×k（C）=-1①
C所在直线过C₁C₂中点②
结合①、②得C所在直线l：y=-x+3.

②设动圆C的圆心C（a，b），半径为R。
∵（a，b）在y=-x+3上。
∴b=-a+3，C（a，-a+3）。
∴C：（x-a）²+（y+a-3)²=R².
由（1）得C₁C=C₂C=√（R²-1）。
又C₁C=√（（a+1）²+（a-3）²）。
故R²-1=（a+1）²+（a-3）²，R²=（a+1）²+（a-3）²+1
于是C：（x-a）²+（y+a-3）²=（a+1）²+（a-3）²+1
展开得x²+y²-6y-2+a（2y-2x-2）=0.
x²+y²-6y-2=0①，2y-2x-2=0②
联立①、②解得定点（（2+3√2）/2，（4+3√2）/2），（（2-3√2）/2，（4-3√2）/2）。